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[[文件:62ed93b61faa264fce7d907959fdbe8f.png|缩略图|阻尼系数不同时的范德珀尔振子动力学相图]]
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范德珀尔振子（Van der Pol oscillator）是研究[[极限环]][[非线性系统]]的经典实例。作为一个耗散性非线性振荡系统，其数学模型为一个二阶非线性齐次方程：
范德珀尔振子（Van der Pol oscillator）是研究[[极限环]][[非线性系统]]的经典实例。作为一个耗散性非线性振荡系统，其数学模型为一个二阶非线性齐次方程：
[math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu > 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu > 0 }[/math]
其中 x 为位置坐标（作为时间 t 的函数），\mu 是标量参数，决定阻尼的非线性和强度。
其中 x 为位置坐标（作为时间 t 的函数），\mu 是标量参数，决定阻尼的非线性和强度。
也可写为二维状态空间方程组的形式：
也可写为二维状态空间方程组的形式：
[math]\displaystyle{ \begin{cases} \dot{x} = y, \\ \dot{y} = \mu(1 - x^2)y - x. \end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{cases} \dot{x} = y, \\ \dot{y} = \mu(1 - x^2)y - x. \end{cases} }[/math]
其中：
其中：
（2）y = \dot{x} 是速度，\dot{y} = \ddot{x} 是加速度。
（2）y = \dot{x} 是速度，\dot{y} = \ddot{x} 是加速度。
（3）\mu 是非线性阻尼参数（\mu \geq 0），控制着非线性效应的强弱。
（3）\mu 是非线性阻尼参数（\mu \geq 0），控制着非线性效应的强弱。
===物理意义与动力学行为===
===物理意义与动力学行为===
范德珀尔振子在非线性阻尼参数不同时，存在以下三种情况：
范德珀尔振子在非线性阻尼参数不同时，存在以下三种情况：