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'''Kleene 递归定理'''是关于'''[[自指]]（self-reference，即一个系统"谈论"自身）'''[[不动点]]（fixed point，即变换后保持不变的点）两个基本定理的合称。先用日常语言各说一遍，再给出精确表述。

'''Kleene 递归定理'''是关于'''[[自指]]（self-reference，即一个系统"谈论"自身）'''[[不动点]]（fixed point，即变换后保持不变的点）两个基本定理的合称。先用日常语言各说一遍，再给出精确表述。

'''第一递归定理（日常语言版）'''：''任何递归定义——即把一个函数在某处的值，写成它自己在其他输入上的值（比如阶乘 <math>fac(n) = n\cdot fac(n−1)</math>）——都必然有解'' ，而且其中"最小"的那个解一定能被机器算出。换句话说，'''机械式的递归定义永远合法、永远有解'''<ref name="rogers1967" />。

'''第一递归定理（日常语言版）'''：任何递归定义——即把一个函数在某处的值，写成它自己在其他输入上的值（比如阶乘 <math>fac(n) = n\cdot fac(n−1)</math>）——都必然有解 ，而且其中"最小"的那个解一定能被机器算出。换句话说，'''机械式的递归定义永远合法、永远有解'''<ref name="rogers1967" />。

'''第二递归定理（日常语言版）'''：''对任何可计算的全函数 <math>f</math>（一个对任何输入都停机的"程序变换"），总存在一个源程序 <math>c</math>，使得执行 <math>c</math> 的效果，等同于执行 <math>f(c)</math>——即 <math>f</math> 拿着 <math>c</math> 自己的源代码算出来的那个程序。'' 用符号写就是：<math>\phi_c \simeq \phi_{f(c)}</math><ref name="rogers1967">'''Rogers, H., Jr. (1967).''' ''Theory of Recursive Functions and Effective Computability''. McGraw-Hill. 第 11 章 The Recursion Theorem, pp. 179–222.【教科书标准表述；第一/第二递归定理的命名来源】</ref>.

'''第二递归定理（日常语言版）'''：对任何可计算的全函数 <math>f</math>（一个对任何输入都停机的"程序变换"），总存在一个源程序 <math>c</math>，使得执行 <math>c</math> 的效果，等同于执行 <math>f(c)</math>——即 <math>f</math> 拿着 <math>c</math> 自己的源代码算出来的那个程序。用符号写就是：<math>\phi_c \simeq \phi_{f(c)}</math><ref name="rogers1967">'''Rogers, H., Jr. (1967).''' ''Theory of Recursive Functions and Effective Computability''. McGraw-Hill. 第 11 章 The Recursion Theorem, pp. 179–222.【教科书标准表述；第一/第二递归定理的命名来源】</ref>.

两个定理的对照表（其中涉及的符号会在[[#预备知识：读懂本词条所需的全部概念|下一节]]逐一解释，此处可先跳过细节）：

两个定理的对照表（其中涉及的符号会在[[#预备知识：读懂本词条所需的全部概念|下一节]]逐一解释，此处可先跳过细节）：