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'''Kleene 递归定理'''是关于'''[[自指]]（self-reference，即一个系统"谈论"自身）'''[[不动点]]（fixed point，即变换后保持不变的点）两个基本定理的合称。先用日常语言各说一遍，再给出精确表述。

'''Kleene 递归定理'''是关于'''[[自指]]（self-reference，即一个系统"谈论"自身）'''[[不动点]]（fixed point，即变换后保持不变的点）两个基本定理的合称。先用日常语言各说一遍，再给出精确表述。

'''第一递归定理（日常语言版）'''：任何递归定义——即把一个函数在某处的值，写成它自己在其他输入上的值（比如阶乘 <math>fac(n) = n\cdot fac(n−1)</math>）——都必然有解 ，而且其中"最小"的那个解一定能被机器算出。换句话说，'''机械式的递归定义永远合法、永远有解'''<ref name="rogers1967" />。

'''第一递归定理（日常语言版）'''：任何递归定义的函数——即把一个函数在某处的值，写成它自己在其他输入上的值（比如阶乘 <math>fac(n) = n\cdot fac(n−1)</math>）——都必然有解 ，而且其中"最小"的那个解一定能被机器算出。换句话说，'''机械式的递归定义永远合法、永远有解'''<ref name="rogers1967" />。

'''第二递归定理（日常语言版）'''：对任何可计算的全函数 <math>f</math>（一个对任何输入都停机的"程序变换"），总存在一个源程序 <math>c</math>，使得执行 <math>c</math> 的效果，等同于执行 <math>f(c)</math>——即 <math>f</math> 拿着 <math>c</math> 自己的源代码算出来的那个程序。用符号写就是：<math>\phi_c \simeq \phi_{f(c)}</math><ref name="rogers1967">'''Rogers, H., Jr. (1967).''' ''Theory of Recursive Functions and Effective Computability''. McGraw-Hill. 第 11 章 The Recursion Theorem, pp. 179–222.【教科书标准表述；第一/第二递归定理的命名来源】</ref>.

'''第二递归定理（日常语言版）'''：对任何可计算的全函数 <math>f</math>（一个对任何输入都停机的"程序变换"），总存在一个源程序 <math>c</math>，使得执行 <math>c</math> 的效果，等同于执行 <math>f(c)</math>——即 <math>f</math> 拿着 <math>c</math> 自己的源代码算出来结果（通常结果都是一个自然数或字符串，对应为一个程序的编号或源代码）的那个程序。用符号写就是：<math>\phi_c \simeq \phi_{f(c)}</math><ref name="rogers1967">'''Rogers, H., Jr. (1967).''' ''Theory of Recursive Functions and Effective Computability''. McGraw-Hill. 第 11 章 The Recursion Theorem, pp. 179–222.【教科书标准表述；第一/第二递归定理的命名来源】</ref>.

两个定理的对照表（其中涉及的符号会在[[#预备知识：读懂本词条所需的全部概念|下一节]]逐一解释，此处可先跳过细节）：

两个定理的对照表（其中涉及的符号会在[[#预备知识：读懂本词条所需的全部概念|下一节]]逐一解释，此处可先跳过细节）：

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| '''结论'''

| '''结论'''

| 任何可计算的函数变换规则 <math>\Psi</math> 都有最小[[不动点]] <math>\phi</math>，且 <math>\phi</math> 是可计算的：<math>\Psi(\phi) = \phi</math>

| 任何可计算的函数变换规则 <math>\Psi</math> 都有最小[[不动点]] <math>\alpha</math>，且 <math>\alpha</math> 是可计算的：<math>\Psi(\alpha) = \alpha</math>

| 任何可计算的程序变换规则 <math>f</math> 都有不动点 <math>n</math>：程序 <math>n</math> 与程序 <math>f(n)</math> 计算同一个函数，记作 <math>\phi_n = \phi_{f(n)}</math>

| 任何可计算的程序变换规则 <math>f</math> 都有不动点 <math>n</math>：程序 <math>n</math> 与程序 <math>f(n)</math> 计算同一个函数，记作 <math>\phi_n = \phi_{f(n)}</math>

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[[文件:两种“不动点”.png|替代=两种“不动点”|缩略图|图2：两个定理的"不动点"含义截然不同——左：函数 <math>\phi</math>经变换<math>\Psi</math> 后变回 <math>\phi</math>（函数层面）；右：程序 <math>n</math> 经变换 <math>f</math> 后变成另一个程序 <math>f(n)</math>（通常<math> f(n) \neq n</math>），但<math>\phi_n = \phi_{f(n)}</math>（'''代码变了，行为不变'''）。§2.5 对此有详细辨析。]]

[[文件:两种“不动点”.png|替代=两种“不动点”|缩略图|图2：两个定理的"不动点"含义截然不同——左：函数 <math>\phi</math>经变换<math>\Psi</math> 后变回 <math>\phi</math>（函数层面）；右：程序 <math>n</math> 经变换 <math>f</math> 后变成另一个程序 <math>f(n)</math>（通常<math> f(n) \neq n</math>），但<math>\phi_n = \phi_{f(n)}</math>（'''代码变了，行为不变'''）。§2.5 对此有详细辨析。]]

第二递归定理被 [[Yiannis N. Moschovakis|Moschovakis]] 称为 '''"令人惊叹的"（amazing）'''——他的综述标题就叫 ''Kleene's Amazing Second Recursion Theorem''<ref name="moschovakis2010" />；计算机科学家 Neil Jones 称之'''"可计算性的瑞士军刀"（A Swiss Pocket Knife for Computability）'''〔转引自 Kiselyov<ref name="kiselyov">'''Kiselyov, O.''' ''Kleene Second Recursion Theorem: A Functional Pearl''.【<math>\lambda</math> 演算/函数式编程视角；quine、twine、性能分析；Unix `cat` 例子出处】</ref>, §1〕。它的一行证明看似只是个小技巧，却支撑了从 [[哥德尔|Gödel]] 不完备定理到[[序数]]理论、从程序自复制到有效[[描述集合论]]的庞大理论大厦（详见第[[第二递归定理（SRT）|5]]）。

第二递归定理被 [[Yiannis N. Moschovakis|Moschovakis]] 称为 '''"令人惊叹的"（amazing）'''定理——他的综述标题就叫 ''Kleene's Amazing Second Recursion Theorem''<ref name="moschovakis2010" />；计算机科学家 Neil Jones 称之'''"可计算性的瑞士军刀"（A Swiss Pocket Knife for Computability）'''〔转引自 Kiselyov<ref name="kiselyov">'''Kiselyov, O.''' ''Kleene Second Recursion Theorem: A Functional Pearl''.【<math>\lambda</math> 演算/函数式编程视角；quine、twine、性能分析；Unix `cat` 例子出处】</ref>, §1〕。它的一行证明看似只是个小技巧，却支撑了从 [[哥德尔|Gödel]] 不完备定理到[[序数]]理论、从程序自复制到有效[[描述集合论]]的庞大理论大厦（详见第[[#第二递归定理（SRT）|5]]）。

== 预备知识：读懂本词条所需的全部概念 ==

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