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编程中最自然的定义方式是'''[[递归]]'''：定义阶乘时写 `fac(n) = n * fac(n-1)`，等号右边出现了正在定义的函数自己。抽象地看，这类定义都在解一个"函数方程"：

编程中最自然的定义方式是'''[[递归]]'''：定义阶乘时写 `fac(n) = n * fac(n-1)`，等号右边出现了正在定义的函数自己。抽象地看，这类定义都在解一个"函数方程"：

: <math>\phi = \Psi(\phi)</math>

: <math>\alpha = \Psi(\alpha)</math>

其中 '''<math>\Psi</math> 是一个"函数变换规则"'''（输入一个函数 <math>\phi</math>，输出一个新函数 <math>\Psi(\phi)</math>；术语叫'''[[算子]]'''，operator）。例如阶乘定义对应的 <math>\Psi</math> 是：给定任意函数 <math>\phi</math>，输出新函数 <math>\phi'</math>，其中 <math>\phi'(0) = 1</math>，

其中 '''<math>\Psi</math> 是一个"函数变换规则"'''（输入一个函数 <math>\alpha</math>，输出一个新函数 <math>\Psi(\alpha)</math>；术语叫'''[[算子]]'''，operator）。例如阶乘定义对应的 <math>\Psi</math> 是：给定任意函数 <math>\alpha</math>，输出新函数 <math>\alpha'</math>，其中 <math>\alpha'(0) = 1</math>，

: <math>\phi'(n) = n\cdot\phi(n−1)</math>。

: <math>\alpha'(n) = n\cdot\alpha(n−1)</math>。

第一递归定理问的是：'''什么样的 <math>\Psi</math> 能保证方程 <math>\phi = \Psi(\phi)</math> 有解，而且解是[[可计算的]]？'''

第一递归定理问的是：'''什么样的 <math>\Psi</math> 能保证方程 <math>\alpha = \Psi(\alpha)</math> 有解，而且解是[[可计算的]]？'''

=== 定理表述 ===

=== 定理表述 ===