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==== Arslanov 完全性判据（1981） ====

==== Arslanov 完全性判据（1981） ====

'''SRT 的相对化版本所给出的等价刻画'''：r.e. 集合 C 称为 r.e.-'''完全'''，当且仅当满足下面这一性质：

'''SRT 的相对化版本所给出的等价刻画'''：r.e. 集合 <math>C</math> 称为 r.e.-'''完全'''，当且仅当满足下面这一性质：

* 对每个 r.e. 集合 <math>W</math>，存在一个可计算函数 <math>f_W</math> 使得 <math>W\leq_T C</math> 通过 <math>f_W</math>

* 对每个 r.e. 集合 <math>W</math>，存在一个可计算函数 <math>f_W</math> 使得 <math>W\leq_T C</math> 通过 <math>f_W</math>

* '''r.e. 集合'''：见 [[#递归可枚举集（r.e. set）|§2.4]]。本词条统一用缩写 r.e.（recursively enumerable，[[递归可枚举集|递归可枚举]]）。

* '''r.e. 集合'''：见 [[#递归可枚举集（r.e. set）|§2.4]]。本词条统一用缩写 r.e.（recursively enumerable，[[递归可枚举集|递归可枚举]]）。

* '''r.e.-完全'''：r.e. 集合这个"复杂度类别"里"最硬核"的一档——任何别的 r.e. 集合 <math>W</math> 都能机械地归约到 <math>C</math>，判定"<math>W</math> 含 <math>x</math>"等价于"问 <math>C</math>"。

* '''r.e.-完全'''：r.e. 集合这个"复杂度类别"里"最硬核"的一档——任何别的 r.e. 集合 <math>W</math> 都能机械地归约到 <math>C</math>，判定"<math>W</math> 含 <math>x</math>"等价于"问 <math>C</math>"。

* '''Turing 归约 / <math>W\leq_T C</math> 通过 <math>f_W</math>'''：<math>A</math> 能 '''Turing 归约'''到 <math>B</math>（记 <math>A\leq_T B</math>），意思是"只要允许把 <math>B</math> 当'''神谕机（oracle，下一条解释）'''——可以向它提任意多个 yes/no 问题并瞬时得到回答——<math>A</math> 就能被判定"。等式 <math>W\leq_T C</math> 通过 <math>f_W</math> 即"编排提问方式的过程由可计算函数 <math>f_W</math> 给出，它把 <math>x</math> 改写成若干个向 <math>C</math> 的查询并综合出答案"。

* '''Turing 归约 / <math>W\leq_T C</math> 通过 <math>f_W</math>'''：<math>A</math> 能 '''Turing 归约'''到 <math>B</math>（记 <math>A\leq_T B</math>），意思是"只要允许把 <math>B</math> 当'''[[神谕]]（oracle，下一条解释）'''——可以向它提任意多个 yes/no 问题并瞬时得到回答——<math>A</math> 就能被判定"。不等式 <math>W\leq_T C</math> 通过 <math>f_W</math> 即"编排提问方式的过程由可计算函数 <math>f_W</math> 给出，它把 <math>x</math> 改写成若干个向 <math>C</math> 的查询并综合出答案"。

直觉上：[[R. R. Arslanov|Arslanov]] 判据说"装得下所有 r.e. 集合"等价于"对每个 r.e. 集合都有机械的相对化方式"——这和 SRT 中"对每个全可计算 <math>f</math> 都给出一个不动点"的相对化版本（relativized SRT）说的是同一件事：SRT 的相对化是说"对每个以 <math>C</math> 为'''神谕'''（oracle）可计算的 <math>f</math>，存在不动点 <math>c</math>"；Arslanov 判据说"对每个 <math>W</math>，存在以 <math>C</math> 为[[谕示机|神谕]]可计算的归约"。

直觉上：[[R. R. Arslanov|Arslanov]] 判据说"装得下所有 r.e. 集合"等价于"对每个 r.e. 集合都有机械的相对化方式"——这和 SRT 中"对每个全可计算 <math>f</math> 都给出一个不动点"的相对化版本（relativized SRT）说的是同一件事：SRT 的相对化是说"对每个以 <math>C</math> 为'''[[神谕]]'''（oracle）可计算的 <math>f</math>，存在不动点 <math>c</math>"；Arslanov 判据说"对每个 <math>W</math>，存在以 <math>C</math> 为[[谕示机|神谕]]可计算的归约"。

[[Arslanov 判据]]在[[递归论]]里是教科书级工具：①用于证明 Gödel 不完备定理的算术陈述（"[[PA不一致]]"这种陈述）的相对可计算性与停机问题同构；② 用于证明某些 r.e. 集"不可能被简化"<ref name="arslanov1981">'''Arslanov, R. R. (1981).''' On a class of recursively enumerable sets. ''Algebra and Logic'', 20, 324–328.【Arslanov 完全性判据】【§[[#Arslanov 完全性判据（1981）|5.5.3]]】</ref><ref name="soare1987">'''Soare, R. I. (1987).''' ''Recursively Enumerable Sets and Degrees: A Study of Computable Functions and Computably Generated Sets''. Berlin: Springer-Verlag.【r.e. 集与图灵度的标准教科书；Arslanov 完备性判据（§[[#Arslanov 完全性判据（1981）|5.5.3]]）与 Rice–Shapiro 等索引集定理（§[[#r.e. 索引集理论：Rice、Rice-Shapiro 与 Myhill|5.8.5]]）的教科书出处】</ref>

[[Arslanov 判据]]在[[递归论]]里是教科书级工具：①用于证明 Gödel 不完备定理的算术陈述（"[[PA不一致]]"这种陈述）的相对可计算性与停机问题同构；② 用于证明某些 r.e. 集"不可能被简化"<ref name="arslanov1981">'''Arslanov, R. R. (1981).''' On a class of recursively enumerable sets. ''Algebra and Logic'', 20, 324–328.【Arslanov 完全性判据】【§[[#Arslanov 完全性判据（1981）|5.5.3]]】</ref><ref name="soare1987">'''Soare, R. I. (1987).''' ''Recursively Enumerable Sets and Degrees: A Study of Computable Functions and Computably Generated Sets''. Berlin: Springer-Verlag.【r.e. 集与图灵度的标准教科书；Arslanov 完备性判据（§[[#Arslanov 完全性判据（1981）|5.5.3]]）与 Rice–Shapiro 等索引集定理（§[[#r.e. 索引集理论：Rice、Rice-Shapiro 与 Myhill|5.8.5]]）的教科书出处】</ref>