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→Lawvere不动点定理
=====函数版本的Lawvere定理=====
=====函数版本的Lawvere定理=====
然而，由于原始版本的[[Lawvere定理]]是构建在[[范畴论]]基础之上的，而对于不熟悉此数学语言的读者来说，该定理显得非常晦涩难懂。因此，本词条首先介绍一个简化后的函数版本的Lawvere定理，然后再介绍原始的范畴论版本。该函数版本的定理是在2003年Yanofsky给出的，该定理可陈述如下。
然而，由于原始版本的[[Lawvere定理]]是构建在[[范畴论]]基础之上的，而对于不熟悉此数学语言的读者来说，该定理显得非常晦涩难懂。因此，本词条首先介绍一个简化后的函数版本的Lawvere定理，然后再介绍原始的范畴论版本。该函数版本的定理是在2003年Yanofsky给出的，该定理可陈述如下。
'''Lawvere定理（函数简化版本）''' 设 <math>T</math> 是一个集合。若存在集合 <math>Y</math> 以及函数 <math>f:Y\times Y \to T</math>，使得所有函数 <math>g:Y \to T</math> 都可以由 <math>f</math> 表示——即对每个这样的函数 <math>g</math>，都存在元素 <math>y \in Y</math>，使得对任意自变量都有 <math>g(x) = f(y,x)</math>——则对任意函数 <math>\alpha : T \to T</math>，都存在 <math>t \in T</math> 满足 <math>\alpha(t) = t</math>，也就是 <math>\alpha</math> 必有不动点<ref name="yanofsky">'''Noson S. Yanofsky''': A universal approach to self-referential paradoxes, incompleteness and fixed points, Bull. Symbolic Logic, Volume 09, Issue 3 (2003), 362- 386.</ref>。
'''Lawvere定理（函数简化版本）''' 设 <math>T</math> 是一个集合。若存在集合 <math>Y</math> 以及函数 <math>f:Y\times Y \to T</math>，使得所有函数 <math>g:Y \to T</math> 都可以由 <math>f</math> 表示——即对每个这样的函数 <math>g</math>，都存在元素 <math>y \in Y</math>，使得对任意自变量都有 <math>g(x) = f(y,x)</math>——则对任意函数 <math>\alpha : T \to T</math>，都存在 <math>t \in T</math> 满足 <math>\alpha(t) = t</math>，也就是 <math>\alpha</math> 必有不动点<ref name="yanofsky">'''Noson S. Yanofsky''': A universal approach to self-referential paradoxes, incompleteness and fixed points, Bull. Symbolic Logic, Volume 09, Issue 3 (2003), 362- 386.</ref>。
定理中各个函数的关系可以用下面的交换图来表示：
[[文件:Lawvere定理的函数版本.png|无|替代=lawvere定理的函数版本|lawvere定理的函数版本|缩略图|300x300像素]]
'''证明：'''
我们按如下方式构造函数 <math>g</math>：
:<math>g(m) = \alpha(f(m,m))</math>
根据题设，<math>g</math> 可由某个 <math>y \in Y</math> 表示，因此有：
:<math>g(m) = f(y,m)</math>
于是 <math>\alpha</math> 在 <math>t_0 = g(y)</math> 处取得不动点，具体推导为：
:<math>\alpha(g(y)) = \alpha(f(y,y)) = g(y)</math>
=====范畴论版本的Lawvere定理=====
=====范畴论版本的Lawvere定理=====