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[math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = F \cos(\omega t) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = F \cos(\omega t) }[/math]

其中F是正弦驱动函数的振幅，\omega是其角频率。此系统经历一系列分岔（Bifurcation）过程，这个系统从稳定的极限环走向混沌。

其中F是正弦驱动函数的振幅，\omega是其角频率。此系统经历一系列分岔（Bifurcation）过程，这个系统从稳定的极限环走向混沌。

（注：受迫VDP振子因引入时间维度而升维至三维及以上，打破了庞加莱-本迪克松定理的限制，从而触及混沌理论的门槛。日本学者上田睆亮于1961年在此系统中首次观察到了混沌吸引子。）

（注：受迫VDP振子因引入时间维度而升维至三维及以上，打破了庞加莱-本迪克松定理的限制，从而触及混沌理论的门槛。日本学者上田睆亮于1961年在此系统中首次观察到了混沌吸引子[8]。）

 

===霍普夫分叉===

===霍普夫分叉===

当\mu从小于零移动到大于零时，原点的螺旋汇变成了螺旋源，一个极限周期骤然出现，半径为2。这是因为过渡不是通用的：当 [math]\displaystyle{ \mu = 0 }[/math] 时，微分方程变成线性，原点变成中心（Center）（而非节点）。

当\mu从小于零移动到大于零时，原点的螺旋汇变成了螺旋源，一个极限周期骤然出现，半径为2。这是因为过渡不是通用的：当 [math]\displaystyle{ \mu = 0 }[/math] 时，微分方程变成线性，原点变成中心（Center）（而非节点）。