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'''现象'''：任何"足够强"的一致可公理化理论 <math>T</math>（例如 [[皮亚诺公理|Peano 算术]]，简写为PA）都不完备：存在一个句子 <math>\sigma</math>，使 <math>T</math> 既证不出 <math>\sigma</math>、也证不出 <math>\neg\sigma</math><ref name="godel1931">'''Gödel, K. (1931).''' Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. ''Monatshefte für Mathematik und Physik'', 38, 173–198.【Gödel 不完备定理（Gödel 不动点引理是其核心证明工具，见 §[[#Gödel 不动点引理（对角引理）|5.6.1]]）】【§[[#哥德尔第一不完备定理（1931）|5.7.4]]】</ref>。

'''现象'''：任何"足够强"的一致可公理化理论 <math>T</math>（例如 [[皮亚诺公理|Peano 算术]]，简写为PA）都不完备：存在一个句子 <math>\sigma</math>，使 <math>T</math> 既证不出 <math>\sigma</math>、也证不出 <math>\neg\sigma</math><ref name="godel1931">'''Gödel, K. (1931).''' Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. ''Monatshefte für Mathematik und Physik'', 38, 173–198.【Gödel 不完备定理（Gödel 不动点引理是其核心证明工具，见 §[[#Gödel 不动点引理（对角引理）|5.6.1]]）】【§[[#哥德尔第一不完备定理（1931）|5.7.4]]】</ref>。

'''术语——皮亚诺算术（PA）与 [[罗宾孙算术]]（Q）'''：'''PA''' 是 '''Peano 算术（Peano Arithmetic）'''的缩写，是'''一阶算术的标准公理系统'''，用于形式化刻画自然数（<math>0, 1, 2, \ldots</math>）及其加法、乘法。它由意大利数学家皮亚诺（G. Peano（1889））的公理发展而来，包含：①常元 0；②后继运算 <math>S</math>（每个数有唯一后继，0 不是任何数的后继，后继相同则原数相同）；③加法、乘法的递归定义；④'''归纳公理模式'''（induction schema：对任何一阶公式 <math>\phi</math>，若 <math>\phi(0)</math> 成立、且 <math>\phi(n) \Rightarrow \phi(n+1)</math>，则 <math>\phi</math> 对一切自然数成立）。PA 是哥德尔不完备定理的典型对象——它足够强（能在内部编码所有初等数论），又是可公理化的一致理论。而 '''Q（[[罗宾孙算术]]）'''是皮亚诺算术的一个'''弱化'''：保留①—③、去掉归纳公理模式，只留极有限的几条公理，是"足以推出不完备定理的最弱理论"之一（后文 [[Myhill定理]]即用它）。

'''术语——皮亚诺算术（PA）与 [[罗宾孙算术]]（Q）'''：PA 是 [[Peano 算术]]（Peano Arithmetic）的缩写，是[[一阶算术的标准公理系统]]，用于形式化刻画自然数（<math>0, 1, 2, \ldots</math>）及其加法、乘法。它由意大利数学家皮亚诺（G. Peano（1889））的公理发展而来，包含：①常元 0；②后继运算 <math>S</math>（每个数有唯一后继，0 不是任何数的后继，后继相同则原数相同）；③加法、乘法的递归定义；④[[归纳公理模式]]（induction schema：对任何一阶公式 <math>\phi</math>，若 <math>\phi(0)</math> 成立、且 <math>\phi(n) \Rightarrow \phi(n+1)</math>，则 <math>\phi</math> 对一切自然数成立）。PA 是哥德尔不完备定理的典型对象——它足够强（能在内部编码所有初等数论），又是可公理化的一致理论。而 '''Q（[[罗宾孙算术]]）'''是皮亚诺算术的一个'''弱化'''：保留①—③、去掉归纳公理模式，只留极有限的几条公理，是"足以推出不完备定理的最弱理论"之一（后文 [[Myhill定理]]即用它）。

'''双重身份'''：与停机问题一样，哥德尔不完备在结论上是否定性的（证明"完备一致的理论不存在"）；哥德尔在1931的原证明走的是康托尔/罗素的否定性对角线老路、'''并不依赖 SRT'''。但因为它活在"形式系统可证性"这一可计算的世界，事后也能被 SRT 干净地推出。核心是'''不动点引理（Fixed Point Lemma）'''，它是 SRT 最纯粹形式的直接推论：

'''双重身份'''：与停机问题一样，哥德尔不完备在结论上是否定性的（证明"完备一致的理论不存在"）；哥德尔在1931的原证明走的是康托尔/罗素的否定性对角线老路、'''并不依赖 SRT'''。但因为它活在"形式系统可证性"这一可计算的世界，事后也能被 SRT 干净地推出。核心是'''不动点引理（Fixed Point Lemma）'''，它是 SRT 最纯粹形式的直接推论：