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→Hopf 分岔与周期发放
固定 <math>w</math> 考察快子系统时，三次零倾线的外支 <math>|v|>1</math> 为吸引支，中支 <math>|v|<1</math> 为排斥支。这一结论依据快方程的导数 <math>1-v^2</math>，不能代替完整二维系统的稳定性判据。尤其是，交点位于中支并不必然意味着平衡点不稳定，也不单独保证存在稳定[[极限环]]。
固定 <math>w</math> 考察快子系统时，三次零倾线的外支 <math>|v|>1</math> 为吸引支，中支 <math>|v|<1</math> 为排斥支。这一结论依据快方程的导数 <math>1-v^2</math>，不能代替完整二维系统的稳定性判据。尤其是，交点位于中支并不必然意味着平衡点不稳定，也不单独保证存在稳定[[极限环]]。
=== [[Hopf 分岔]]与周期发放 ===
=== [[Hopf 分岔]]与[[周期发放]] ===
当控制参数变化时，平衡点可能发生 Hopf 分岔。由式（5）的零迹和正行列式条件，得到候选位置
当控制参数变化时，平衡点可能发生 [[Hopf 分岔]]。由式（5）的[[零迹]]和[[正行列式]]条件，得到[[分岔]]点：
{{NumBlk|:|<math>\begin{aligned}
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\end{aligned}</math>|{{EquationRef|6}}}}
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式（6）中的两个非零候选值要求 <math>1-\varepsilon b>0</math>，并满足所列的正行列式条件。要确认为通常的非退化 Hopf 分岔，还需检查[[特征值]]实部随控制参数穿过零的横截条件及相应非线性条件。新生周期轨道是否稳定，也需要非线性分析。平衡点的局部失稳条件与稳定大幅周期发放的参数范围不能简单画等号。有关局部和全局[[分岔]]的讨论可参见相关综述。<ref name="CebrianLacasa_2024" />
式（6）中的两个非零候选值要求 <math>1-\varepsilon b>0</math>，并满足所列的正行列式条件。要确认为通常的[[非退化 Hopf 分岔]]，还需检查[[特征值]]实部随控制参数穿过零的[[横截条件]]及相应非线性条件。新生[[周期轨道]]是否稳定，也需要非线性分析。平衡点的局部失稳条件与稳定大幅周期发放的参数范围不能简单画等号。有关局部和全局[[分岔]]的讨论可参见相关综述<ref name="CebrianLacasa_2024" />。下图是该动力学模型的[[分岔图]]。
[[文件:分岔图.png|无框|507x507像素]]
[[文件:分岔图.png|无框|507x507像素]]
横坐标为[[外部刺激电流]] \(I_{\mathrm{app}}\)，纵坐标为[[兴奋变量]] \(v\)。实线和虚线分别表示稳定与不稳定平衡解，其中 ss 表示[[稳态解]]（steady state）；osc max 和 osc min 分别表示[[稳定周期振荡]]过程中兴奋变量的最大值和最小值；HB 表示 [[Hopf 分岔点]]。随着外部刺激电流增大，系统在第一个 Hopf 分岔点附近由[[稳定平衡态]]转入[[周期振荡态]]，并在第二个 Hopf 分岔点附近重新获得稳定平衡态。图示参数为 \(\alpha=0.1\)、\(\gamma=0.5\)、\(\varepsilon=0.01\)，两个 Hopf 分岔点分别位于 \(I_{\mathrm{app}}\approx0.105\) 和 \(I_{\mathrm{app}}\approx1.238\)。
=== 快慢运动与配图 ===
=== 快慢运动与配图 ===