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蝴蝶效应 Butterfly effect
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2020年4月27日 (一) 18:47的版本
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2020年4月27日 (一) 18:47
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* 数学定义:
* 数学定义:
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定义:设M是映射<math> f^{t}</math>的状态空间:如果对于任何<math> x∈M</math>和<math> δ> 0</math>,都存在<math> y∈M</math>和距离<math>d(. , .)</math>使得 <math> 0<d(x,y)<δ</math> 且对于某个正数 <math>a</math> 有 <math>d(f^{t}(x),f^{t}(y))>e^{at}d(x,y) </math>,则映射 <math> f^{t}</math>
表现出对初始条件的敏感依赖性。该定义不要求邻域中的所有点都与基点x分开,而是需要一个正的李雅普诺夫指数(Lyapunov exponent.)。
+
定义:设M是映射<math> f^{t}</math>的状态空间:如果对于任何<math> x∈M</math>和<math> δ> 0</math>,都存在<math> y∈M</math>和距离<math>d(. , .)</math>使得 <math> 0<d(x,y)<δ</math> 且对于某个正数 <math>a</math> 有 <math>d(f^{t}(x),f^{t}(y))>e^{at}d(x,y) </math>,则映射 <math> f^{t}</math>
表现出对初始条件的敏感依赖性。该定义不要求邻域中的所有点都与基点x分开,而是需要一个正的李雅普诺夫指数 Lyapunov exponent。
第38行:
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::<math>x_{n} = sin^{2}(2^{n}θπ).</math>
::<math>x_{n} = sin^{2}(2^{n}θπ).</math>
−
其中初始状态<math>θ=\frac{1}{π} sin^{-1}(x_{0}^{\frac{1}{2}}) </math>,对于有理数 <math>θ</math> ,在有限次数的迭代之后,<math>x_{n}</math> 映射为周期序列。但是几乎所有的 <math>θ</math> 都是无理数的,那么对于无理数的 <math>θ</math> ,<math>x_{n}</math>
永远不会自我重复——因为它是非周期性的。该解决方案方程式清楚地说明了混沌的两个关键特征–拉伸和折叠(stretching
and
folding):因子
,<math>2^{n}</math> 显示拉伸的指数增长,这导致对初始条件的敏感依赖(即蝴蝶效应),而正弦平方函数将 ,<math>x_{n}</math> 折叠在[0,1]范围内。
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其中初始状态<math>θ=\frac{1}{π} sin^{-1}(x_{0}^{\frac{1}{2}}) </math>,对于有理数 <math>θ</math> ,在有限次数的迭代之后,<math>x_{n}</math> 映射为周期序列。但是几乎所有的 <math>θ</math> 都是无理数的,那么对于无理数的 <math>θ</math> ,<math>x_{n}</math>
永远不会自我重复——因为它是非周期性的。该解决方案方程式清楚地说明了混沌的两个关键特征–拉伸和折叠 stretching
and
folding :因子
,<math>2^{n}</math> 显示拉伸的指数增长,这导致对初始条件的敏感依赖(即蝴蝶效应),而正弦平方函数将 ,<math>x_{n}</math> 折叠在[0,1]范围内。
许许
330
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