更改

[[File:Logistic_map_animation.gif|400px|thumb|center|图1]]

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  μ=0.9;x0=0.1;

  μ=0.9;x0=0.1;

  NestList[μ # (1 - #) &, x0, 100]

  NestList[μ # (1 - #) &, x0, 100]

我们观察到，无论系统从何初值开始，也无论<math>\mu</math>取什么值，系统最终都会渐进地趋近于0。因此，当0<<math>\mu</math><1时，系统的极限行为趋于0这个固定值。

可以观察到无论系统从何初值开始，也无论<math>\mu</math>取什么值，系统最终都会渐进地趋近于0。因此，当0<<math>\mu</math><1时，系统的极限行为趋于0这个固定值。

也就是说，当0<<math>\mu</math><1时，种群最终会灭亡，不论初始种群数有多大。

也就是说，当0<<math>\mu</math><1时，种群最终会灭亡，不论初始种群数有多大。

[[File:Mu03.png|400px|thumb|center|图4]]

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图4左图中我们看到，当<math>\mu</math>为3.2的时候，图形呈现锯齿状，表明<math>x(t)</math>在两个值之间：0.5和0.8上下徘徊。虽然从不同的初始值开始（蓝线和紫线），系统演化的轨迹并不一样，但是它们的终值却始终是0.5和0.8。

在左图4中，当<math>\mu</math>为3.2的时候，图形呈现锯齿状，表明<math>x(t)</math>在两个值之间：0.5和0.8上下徘徊。虽然从不同的初始值开始（蓝线和紫线），系统演化的轨迹并不一样，但是它们的终值却始终是0.5和0.8。

直到大概3.6的时候，周期长度趋向于无穷大，此时，系统开始了混沌状态。我们看到，随着系统的演化，<math>x(t)</math>的值会一直在0.3到0.9之间徘徊，没有固定的周期，而且行为很随机。不同的初始状态演化的轨迹也不重合。我们可以统计不同时刻的<math>x(t)</math>值在区间[0.3,0.9]之上的统计分布，如下所示：

直到大概3.6的时候，周期长度趋向于无穷大，此时，系统开始了混沌状态。我们看到，随着系统的演化，<math>x(t)</math>的值会一直在0.3到0.9之间徘徊，没有固定的周期，而且行为很随机。不同的初始状态演化的轨迹也不重合。可以统计不同时刻的<math>x(t)</math>值在区间[0.3,0.9]之上的统计分布，如下所示：

[[File:Mu06.png|400px|thumb|center|图6]]

[[File:Mu06.png|400px|thumb|center|图6]]

图6中所示为一次模拟试验运行了20000个周期，<math>x(t)</math>在这不同时刻的值在[0,1]区间上的累计分布图。图形中的平台部分表示取值概率基本为0。也就是说<math>x(t)</math>的取值基本集中在0.3~0.6和0.8~0.9这两个区间里。而往右上按照直线倾斜的部分表示<math>x(t)</math>在该区间近似呈现均匀分布。由此可见，这个时候迭代系统表现出随机性，然而整个迭代方程都是确定性的，因此，我们说产生了确定性的混沌。

图6中所示为一次模拟试验运行了20000个周期，<math>x(t)</math>在这不同时刻的值在[0,1]区间上的累计分布图。图形中的平台部分表示取值概率基本为0。也就是说<math>x(t)</math>的取值基本集中在0.3~0.6和0.8~0.9这两个区间里。而往右上按照直线倾斜的部分表示<math>x(t)</math>在该区间近似呈现均匀分布。由此可见，这个时候迭代系统表现出随机性，然而整个迭代方程都是确定性的，因此认为产生了确定性的混沌。