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|keywords=logistics模型,分形,迭代,混沌

|keywords=Logistic模型,分形,迭代,混沌

|description=logistics映射,logistics模型

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[[File:logistic .png|400px|thumb|right|以美国人口为例，使用logistics模型来拟合1800年后的人口数据：<math>x(t)=\frac{K}{1+(\frac{K}{x_0}-1)e^{-rt}}</math>，其中<math>K</math>为最大容纳量]]

[[File:logistic .png|400px|thumb|right|以美国人口为例，使用Logistic模型来拟合1800年后的人口数据：<math>x(t)=\frac{K}{1+(\frac{K}{x_0}-1)e^{-rt}}</math>，其中<math>K</math>为最大容纳量]]

'''logistics映射'''，又称单峰映象，是一个二次多项式映射(递归关系)，经常作为典型范例来说明复杂的混沌现象是如何从非常简单的非线性动力学方程中产生的。生物学家[[罗伯特·梅 Robert May]] <ref name="May, Robert M 1976">{{cite journal |last=May |first=Robert M. |year=1976 |title=Simple mathematical models with very complicated dynamics |journal=Nature (journal) |volume=261 |issue=5560 |pages=459–467 |doi=10.1038/261459a0 |bibcode=1976Natur.261..459M |pmid=934280 |hdl=10338.dmlcz/104555 |hdl-access=free }}</ref>在1976年的一篇论文中推广了这一映射，<ref>"{{MathWorld | urlname=logisticsEquation | title= logistics Equation}}</ref>它在一定程度上是一个时间离散的人口统计模型，类似于'''皮埃尔·弗朗索瓦·韦胡斯特  Pierre Francois Verhulst''' 首次提出的方程。

'''Logistic映射'''，又称单峰映象，是一个二次多项式映射(递归关系)，经常作为典型范例来说明复杂的混沌现象是如何从非常简单的非线性动力学方程中产生的。生物学家[[罗伯特·梅 Robert May]] <ref name="May, Robert M 1976">{{cite journal |last=May |first=Robert M. |year=1976 |title=Simple mathematical models with very complicated dynamics |journal=Nature (journal) |volume=261 |issue=5560 |pages=459–467 |doi=10.1038/261459a0 |bibcode=1976Natur.261..459M |pmid=934280 |hdl=10338.dmlcz/104555 |hdl-access=free }}</ref>在1976年的一篇论文中推广了这一映射，<ref>"{{MathWorld | urlname=LogisticEquation | title= Logistic Equation}}</ref>它在一定程度上是一个时间离散的人口统计模型，类似于'''皮埃尔·弗朗索瓦·韦胡斯特  Pierre Francois Verhulst''' 首次提出的方程。

logistics映射的数学表达式表示为:

Logistic映射的数学表达式表示为:

:<math>

:<math>

然而，logistics映射作为一种人口统计模型，存在着一些初始条件和参数值(如<math>μ</math> >4)为某值时所导致的混沌问题。这个问题在较老的瑞克模型中没有出现，该模型也展示了混沌动力学。

然而，Logistic映射作为一种人口统计模型，存在着一些初始条件和参数值(如<math>μ</math> >4)为某值时所导致的混沌问题。这个问题在较老的瑞克模型中没有出现，该模型也展示了混沌动力学。

该模型可以用来模拟生物种群的生长行为，所以logistics映射也叫“虫口模型”。其中<math>x(t)</math>可以解释为在t时刻种群占最大可能种群规模的比例。我们将原方程变形为：

该模型可以用来模拟生物种群的生长行为，所以Logistic映射也叫“虫口模型”。其中<math>x(t)</math>可以解释为在t时刻种群占最大可能种群规模的比例。我们将原方程变形为：

:<math> x(t+1)-x(t)=(\mu-1) x(t) - \mu x(t)^2 </math>

:<math> x(t+1)-x(t)=(\mu-1) x(t) - \mu x(t)^2 </math>

==数值试验==

==数值试验==

[[File:logistic_map_animation.gif|400px|thumb|center|图1]]

[[File:Logistic_map_animation.gif|400px|thumb|center|图1]]

首先，可以用一系列数值试验的方法来探讨这个迭代方程。如果使用Mathematica数学软件，只需要用两句话就能实现这个迭代：

首先，可以用一系列数值试验的方法来探讨这个迭代方程。如果使用Mathematica数学软件，只需要用两句话就能实现这个迭代：

===<math>3.6<μ<4</math>===

===<math>3.6<μ<4</math>===

[[File:450px-logistic_map.gif|400px|thumb|图7 不同的初始条件下关于μ的函数 （横轴的r为μ）]]

[[File:450px-Logistic_map.gif|400px|thumb|图7 不同的初始条件下关于μ的函数 （横轴的r为μ）]]

当参数<math>\mu</math>从大约3.56995变化到3.82843时，logistics映射的混沌行为的发展过程有时被称为the Pomeau–Manneville scenario，其特征是周期性(层流)阶段被非周期性行为突然打断。The Pomeau–Manneville scenario在半导体器件中有应用。<ref name="carson82">{{cite journal|first1=Carson |last1=Jeffries|first2=José |last2=Pérez |journal=Physical Review A|year=1982|title=Observation of a Pomeau–Manneville intermittent route to chaos in a nonlinear oscillator|volume=26 |issue=4 |pages=2117–2122|doi=10.1103/PhysRevA.26.2117|bibcode = 1982PhRvA..26.2117J |url=http://www.escholarship.org/uc/item/2dm2k8mm}}</ref> 此时函数值在5个值之间来回波动;所有的振荡周期都依赖于<math>\mu</math>。带参数<math>c</math>的倍周期是由一系列子序列组成的<math>\mu</math>值范围。第k个子区间包含了<math>\mu</math>的值，其中有一个<math>2^{k}c</math>的稳定周期(一个周期吸引了一组单位测度的初始点)。这个子范围的序列称为谐波级联cascade of harmonics。<ref name="May">{{cite journal | first = R. M. |last=May | title = Simple mathematical models with very complicated dynamics | journal = Nature | year = 1976 | volume = 261 | issue = 5560 | pages = 459–67 | doi = 10.1038/261459a0 | pmid = 934280|bibcode = 1976Natur.261..459M | hdl = 10338.dmlcz/104555 | hdl-access = free }}</ref> 在一个稳定周期为<math>2^{k^*}c</math>的子范围内，所有<math>k < k^*</math>都存在周期为<math>2^{k}c</math>的不稳定周期。在无限子区间序列末端的<math>\mu</math>值称为谐波级联的积累点。随着<math>\mu</math>的升高，出现了一系列具有不同<math>c</math>值的新窗口。第一个是<math>c</math> = 1;所有包含奇数<math>c</math>的后续窗口都以<math>c</math>的递减顺序出现，以任意大的<math>c</math>开始。<ref name="May" /><ref>{{cite journal |last1=Baumol |first1=William J. |last2=Benhabib |first2=Jess |title=Chaos: Significance, Mechanism, and Economic Applications |journal=Journal of Economic Perspectives]] |date=February 1989 |volume=3 |issue=1 |pages=77–105 |doi=10.1257/jep.3.1.77 }}</ref>  

当参数<math>\mu</math>从大约3.56995变化到3.82843时，Logistic映射的混沌行为的发展过程有时被称为the Pomeau–Manneville scenario，其特征是周期性(层流)阶段被非周期性行为突然打断。The Pomeau–Manneville scenario在半导体器件中有应用。<ref name="carson82">{{cite journal|first1=Carson |last1=Jeffries|first2=José |last2=Pérez |journal=Physical Review A|year=1982|title=Observation of a Pomeau–Manneville intermittent route to chaos in a nonlinear oscillator|volume=26 |issue=4 |pages=2117–2122|doi=10.1103/PhysRevA.26.2117|bibcode = 1982PhRvA..26.2117J |url=http://www.escholarship.org/uc/item/2dm2k8mm}}</ref> 此时函数值在5个值之间来回波动;所有的振荡周期都依赖于<math>\mu</math>。带参数<math>c</math>的倍周期是由一系列子序列组成的<math>\mu</math>值范围。第k个子区间包含了<math>\mu</math>的值，其中有一个<math>2^{k}c</math>的稳定周期(一个周期吸引了一组单位测度的初始点)。这个子范围的序列称为谐波级联cascade of harmonics。<ref name="May">{{cite journal | first = R. M. |last=May | title = Simple mathematical models with very complicated dynamics | journal = Nature | year = 1976 | volume = 261 | issue = 5560 | pages = 459–67 | doi = 10.1038/261459a0 | pmid = 934280|bibcode = 1976Natur.261..459M | hdl = 10338.dmlcz/104555 | hdl-access = free }}</ref> 在一个稳定周期为<math>2^{k^*}c</math>的子范围内，所有<math>k < k^*</math>都存在周期为<math>2^{k}c</math>的不稳定周期。在无限子区间序列末端的<math>\mu</math>值称为谐波级联的积累点。随着<math>\mu</math>的升高，出现了一系列具有不同<math>c</math>值的新窗口。第一个是<math>c</math> = 1;所有包含奇数<math>c</math>的后续窗口都以<math>c</math>的递减顺序出现，以任意大的<math>c</math>开始。<ref name="May" /><ref>{{cite journal |last1=Baumol |first1=William J. |last2=Benhabib |first2=Jess |title=Chaos: Significance, Mechanism, and Economic Applications |journal=Journal of Economic Perspectives]] |date=February 1989 |volume=3 |issue=1 |pages=77–105 |doi=10.1257/jep.3.1.77 }}</ref>  

<math>\mu</math> =4时，几乎所有的初值都会使logistics映射出现混沌特性，不过也存在无限个初值会使logistics映射最后呈周期性变化。而且对于所有正整数，都存在一初值使logistics映射的周期为正整数。可以利用

<math>\mu</math> =4时，几乎所有的初值都会使Logistic映射出现混沌特性，不过也存在无限个初值会使Logistic映射最后呈周期性变化。而且对于所有正整数，都存在一初值使Logistic映射的周期为正整数。可以利用

logistics映射和移位映射 Dyadic transformation之间的关系来找出任何周期的循环。若<math>x</math>依照logistics映射<math>x_{t+1} = 4 x_t(1-x_t)</math>，而<math>y</math>依照移位映射

Logistic映射和移位映射 Dyadic transformation之间的关系来找出任何周期的循环。若<math>x</math>依照Logistic映射<math>x_{t+1} = 4 x_t(1-x_t)</math>，而<math>y</math>依照移位映射

将其转换到<math>\mu </math>=4的logistics映射后，所得到的逻辑循环为611260467... → 950484434... → 188255099... → 611260467...。其他周期为3的循环也可以转换为logistics映射。同样地，任何长度为k的循环都可以在移位映射中找到，然后转换成相应的logistics映射。

将其转换到<math>\mu </math>=4的Logistic映射后，所得到的逻辑循环为611260467... → 950484434... → 188255099... → 611260467...。其他周期为3的循环也可以转换为Logistic映射。同样地，任何长度为k的循环都可以在移位映射中找到，然后转换成相应的Logistic映射。

对于<math>\mu </math>=4的logistics映射，此时对应<math>\mu </math>= 2的帐篷映射 Tent map。（最小）长度k = 1，2，3，…的循环数是一个已知的整数序列（OEIS中的序列A001037）：2，1 ，2、3、6、9、18、30、56、99、186、335、630、1161…这告诉我们，<math>\mu </math>=4的logistics映射具有2个不动点点，长度为2时的周期为1，长度为3时的周期为2，依此类推。对于素数k有序列：<math>2\frac{2^{k-1}-1}{k}</math>

对于<math>\mu </math>=4的Logistic映射，此时对应<math>\mu </math>= 2的帐篷映射 Tent map。（最小）长度k = 1，2，3，…的循环数是一个已知的整数序列（OEIS中的序列A001037）：2，1 ，2、3、6、9、18、30、56、99、186、335、630、1161…这告诉我们，<math>\mu </math>=4的Logistic映射具有2个不动点点，长度为2时的周期为1，长度为3时的周期为2，依此类推。对于素数k有序列：<math>2\frac{2^{k-1}-1}{k}</math>

例如：<math>2\frac{2^{13-1}-1}{13}</math>是长度为13的循环数。在所有初始条件下，映射都是混乱的，所以这些有限长度的循环都是不稳定的。

例如：<math>2\frac{2^{13-1}-1}{13}</math>是长度为13的循环数。在所有初始条件下，映射都是混乱的，所以这些有限长度的循环都是不稳定的。

  interval = 0.001;

  interval = 0.001;

  results = Reverse[Transpose[Table[

  results = Reverse[Transpose[Table[

     logisticsValues =  

     logisticValues =  

     Table[Nest[a # (1 - #) &, RandomReal[], 2000], {1000}];

     Table[Nest[a # (1 - #) &, RandomReal[], 2000], {1000}];

     intervals = Table[i, {i, 0, 1 - interval, interval}];

     intervals = Table[i, {i, 0, 1 - interval, interval}];

     result = BinCounts[logisticsValues, {0, 1, interval}]/1000;

     result = BinCounts[logisticValues, {0, 1, interval}]/1000;

     Log[result + 0.001]

     Log[result + 0.001]

     , {a, 2.9, 4, 0.001}]]];

     , {a, 2.9, 4, 0.001}]]];

其中1000为初始值的个数，2000为迭代的时间步。interval为区域的划分尺度。

其中1000为初始值的个数，2000为迭代的时间步。interval为区域的划分尺度。

==混沌与logistics映射==

==混沌与Logistic映射==

[[File:Iterated_logistic_functions.svg.png|thumb|400px|图9 logistics映射<math>f</math> (blue)及其迭代版本<math>f^2、f^3、f^4</math>和<math>f^5</math>, <math>\mu</math> = 3.5。例如，对于横轴上的任意初始值，<math>f^4</math>给出后面迭代4次的值|right]]

[[File:Iterated_logistic_functions.svg.png|thumb|400px|图9 Logistic映射<math>f</math> (blue)及其迭代版本<math>f^2、f^3、f^4</math>和<math>f^5</math>, <math>\mu</math> = 3.5。例如，对于横轴上的任意初始值，<math>f^4</math>给出后面迭代4次的值|right]]

logistics映射<math> f</math> (blue)在<math>\mu</math>=3.5的条件下进行迭代，得到<math> f^2</math>、<math> f^3</math> 、<math> f^4</math>和 <math> f^5</math>。 例如，对于水平轴上的任何初始值，<math> f^4</math>为四次迭代之后得到的值。和其他混沌系统比较，logistics映射的相对简单性使它成为考虑混沌概念的一个广泛使用的切入点。简单来说，混沌就是对初始条件的高度灵敏度。<math>\mu</math>=3.5是在3.57及4之间的大部分数值都可以使logistics映射出现该特性。<ref name="May, Robert M 1976" /> 由于映射本身对定义域的拉伸及折叠，使得其对初始条件有高度灵敏度,故表现出来了混沌特性。logistics映射的二次差分方程可视为是对于区间(0,1)拉伸及折叠的过程。<ref name="Gleick">{{cite book |last=Gleick |first=James |title=Chaos: Making a New Science |year=1987 |publisher=Penguin Books |location=London |isbn=978-0-14-009250-9 }}</ref>

Logistic映射<math> f</math> (blue)在<math>\mu</math>=3.5的条件下进行迭代，得到<math> f^2</math>、<math> f^3</math> 、<math> f^4</math>和 <math> f^5</math>。 例如，对于水平轴上的任何初始值，<math> f^4</math>为四次迭代之后得到的值。和其他混沌系统比较，Logistic映射的相对简单性使它成为考虑混沌概念的一个广泛使用的切入点。简单来说，混沌就是对初始条件的高度灵敏度。<math>\mu</math>=3.5是在3.57及4之间的大部分数值都可以使Logistic映射出现该特性。<ref name="May, Robert M 1976" /> 由于映射本身对定义域的拉伸及折叠，使得其对初始条件有高度灵敏度,故表现出来了混沌特性。Logistic映射的二次差分方程可视为是对于区间(0,1)拉伸及折叠的过程。<ref name="Gleick">{{cite book |last=Gleick |first=James |title=Chaos: Making a New Science |year=1987 |publisher=Penguin Books |location=London |isbn=978-0-14-009250-9 }}</ref>

[[File:logistics_map_scatterplots_large.png|400px|thumb|图10：二维和三维的庞加莱图显示了logistics映射的拉伸和折叠结构|right]]

[[File:Logistic_map_scatterplots_large.png|400px|thumb|图10：二维和三维的庞加莱图显示了Logistic映射的拉伸和折叠结构|right]]

图10中，右图说明了在logistics映射的迭代序列上的伸展和折叠。左边 图(a) 显示了logistics映射在<math>\mu</math>=4条件下的二维庞加莱图，并清楚地显示了差分方程的二次曲线。利用二维及三维的相图可以看出一些logistics映射的特性。以<math>\mu</math>=4的logistics映射为例，二维相图为一抛物线，但是若用相同的序列绘制三维相图，可看出进一步的结构，例如几个一开始很接近的点在迭代后开始发散．特别是位在斜率较大位置的点。

图10中，右图说明了在Logistic映射的迭代序列上的伸展和折叠。左边 图(a) 显示了Logistic映射在<math>\mu</math>=4条件下的二维庞加莱图，并清楚地显示了差分方程的二次曲线。利用二维及三维的相图可以看出一些Logistic映射的特性。以<math>\mu</math>=4的Logistic映射为例，二维相图为一抛物线，但是若用相同的序列绘制三维相图，可看出进一步的结构，例如几个一开始很接近的点在迭代后开始发散．特别是位在斜率较大位置的点。

此外，以便研究logistics映射的更深层结构。 图(b)演示了在最初点的附近是如何开始分叉的，特别是在与图中更陡的部分相对应的 <math>x_t</math> 区域。

此外，以便研究Logistic映射的更深层结构。 图(b)演示了在最初点的附近是如何开始分叉的，特别是在与图中更陡的部分相对应的 <math>x_t</math> 区域。

拉伸及折叠的结果使迭代的数列以指数形式发散（参照李亚普诺夫指数），可以用有混沌特性时的logistics映射的复杂性及不可预测性加以说明。事实上，数列的指数发散说明了混沌和不可预测性之间的关系：初值微小的误差在迭代过程中会以指数成长的方式增加，导致结果出现很大的误差。因此当对于初始状态的有微小的误差时．对未来状态的预测准确度也会随迭代次数增加而快速变差。这种不可预测性和明显的随机性使得在早期的计算机中利用logistics方程生成伪随机数。<ref name="Gleick" />

拉伸及折叠的结果使迭代的数列以指数形式发散（参照李亚普诺夫指数），可以用有混沌特性时的Logistic映射的复杂性及不可预测性加以说明。事实上，数列的指数发散说明了混沌和不可预测性之间的关系：初值微小的误差在迭代过程中会以指数成长的方式增加，导致结果出现很大的误差。因此当对于初始状态的有微小的误差时．对未来状态的预测准确度也会随迭代次数增加而快速变差。这种不可预测性和明显的随机性使得在早期的计算机中利用Logistic方程生成伪随机数。<ref name="Gleick" />

有些混沌系统可对于其未来状态的可能性作准确的描述。若一个可能有混沌特性的动力系统存在吸引子，则存在一概率量测描述系统长期在吸引子各部分所花时间的比例。以<math>\mu</math>=4的logistics映射为例，初始状态在区间(0,1)中，而吸引子也在区间(0,1)中，其概率量测对应参数<math> a</math>=0.5,<math>b</math>=0.5的Β分布<ref>{{cite journal |last=Jakobson |first=M. |title=Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=81 |issue=1 |year=1981 |pages=39–88 |doi=10.1007/BF01941800 |bibcode=1981CMaPh..81...39J }}</ref>，其不变测度为：

有些混沌系统可对于其未来状态的可能性作准确的描述。若一个可能有混沌特性的动力系统存在吸引子，则存在一概率量测描述系统长期在吸引子各部分所花时间的比例。以<math>\mu</math>=4的Logistic映射为例，初始状态在区间(0,1)中，而吸引子也在区间(0,1)中，其概率量测对应参数<math> a</math>=0.5,<math>b</math>=0.5的Β分布<ref>{{cite journal |last=Jakobson |first=M. |title=Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=81 |issue=1 |year=1981 |pages=39–88 |doi=10.1007/BF01941800 |bibcode=1981CMaPh..81...39J }}</ref>，其不变测度为：

:<math> {\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}</math>。

:<math> {\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}</math>。

不可预期性和随机并不一样，不过在一些情形下这二者很类似。 因此，幸运的是，即使我们对logistics映射(或其他混沌系统)的初始状态知之甚少，我们仍然可以说一些关于任意未来状态分布的问题，并参考一些信息来判断系统的状态从而做出决定。

不可预期性和随机并不一样，不过在一些情形下这二者很类似。 因此，幸运的是，即使我们对Logistic映射(或其他混沌系统)的初始状态知之甚少，我们仍然可以说一些关于任意未来状态分布的问题，并参考一些信息来判断系统的状态从而做出决定。

==分岔行为==

==分岔行为==

[[File:330px-logistics_Bifurcation_map_High_Resolution.png|400px|thumb|图11  物流图的分岔图。参数<math>\mu</math>的任何值的吸引子都显示在那个<math>\mu</math>的垂直线上。（横轴的r为<math>\mu</math>）|right]]

[[File:330px-Logistic_Bifurcation_map_High_Resolution.png|400px|thumb|图11  物流图的分岔图。参数<math>\mu</math>的任何值的吸引子都显示在那个<math>\mu</math>的垂直线上。（横轴的r为<math>\mu</math>）|right]]

图11中分岔图总结了这一点。横轴表示参数<math>\mu</math>的可能值，纵轴表示x的一组值，通过与该<math>\mu</math>值的logistics映射的迭代，从初始条件中一步步接近所得到的x一组值。

图11中分岔图总结了这一点。横轴表示参数<math>\mu</math>的可能值，纵轴表示x的一组值，通过与该<math>\mu</math>值的Logistic映射的迭代，从初始条件中一步步接近所得到的x一组值。

===自相似性===

===自相似性===

[[File:Selfsimilar.png||Self Similar|400px|thumb|图13：分岔图的自相似性]]

[[File:Selfsimilar.png||Self Similar|400px|thumb|图13：分岔图的自相似性]]

===<math>α</math>===

===<math>α</math>===

如图2中，定义第p个周期点第q个分岔的高度为l_p,q，其中横坐标的选取是迭代映射在第p个周期分岔中满足'''超稳定不动点'''条件的特殊的参数<math>\mu</math>值，该数值<math>\hat{\mu_p}</math>为满足下列方程的解：

如图2中，定义第p个周期点第q个分岔的高度为l_p,q，其中横坐标的选取是迭代映射在第p个周期分岔中满足'''超稳定不动点'''条件的特殊的参数<math>\mu</math>值，该数值<math>\hat{\mu_p}</math>为满足下列方程的解：

其中，<math>f(\mu,x)=\mu x(1-x)</math>, <math>x^*</math>是<math>2^p</math>周期迭代的不动点，即方程<math>f^{(2^p)}(x^*)=0</math>的解。例如，在logistics映射中，如果p=1，则：<math>\hat{\mu_p}=1+\sqrt{5}</math>。由这些<math>\hat{\mu_p}</math>代入不动点方程，就可以求出相应的高度。

其中，<math>f(\mu,x)=\mu x(1-x)</math>, <math>x^*</math>是<math>2^p</math>周期迭代的不动点，即方程<math>f^{(2^p)}(x^*)=0</math>的解。例如，在Logistic映射中，如果p=1，则：<math>\hat{\mu_p}=1+\sqrt{5}</math>。由这些<math>\hat{\mu_p}</math>代入不动点方程，就可以求出相应的高度。

===普适性===

===普适性===

具有抛物极大值和费根鲍姆常数（包括<math>\delta</math>=4.669201...,<math>\alpha</math>=2.502907...）<ref>[http://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf Feigenbaum, M. J. (1976) "Universality in complex discrete dynamics", Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975-1976]</ref> <ref>{{cite journal|last=Feigenbaum|first=Mitchell|date=1978|title=Quantitative universality for a class of nonlinear transformations|journal=Journal of Statistical Physics|volume=19|issue=1|pages=25-52|bibcode=1978JSP....19...25F|citeseerx=10.1.1.418.9339|doi=10.1007/BF01020332}}</ref> 的一维映射在logistics映射作为离散激光动力学的模型时容易察觉其具有的普遍性质。<math> x \rightarrow G x (1 - \tanh (x))</math>，x为电场振幅，<math>G</math><ref name="Okulov, A Yu 1986">{{cite journal|last1=Okulov|first1=A Yu|last2=Oraevskiĭ|first2=A N|year=1986|title=Space–temporal behavior of a light pulse propagating in a nonlinear nondispersive medium|journal=J. Opt. Soc. Am. B|volume=3|issue=5|pages=741–746|bibcode=1986OSAJB...3..741O|doi=10.1364/JOSAB.3.000741}}</ref>为激光增益分岔参数。

具有抛物极大值和费根鲍姆常数（包括<math>\delta</math>=4.669201...,<math>\alpha</math>=2.502907...）<ref>[http://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf Feigenbaum, M. J. (1976) "Universality in complex discrete dynamics", Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975-1976]</ref> <ref>{{cite journal|last=Feigenbaum|first=Mitchell|date=1978|title=Quantitative universality for a class of nonlinear transformations|journal=Journal of Statistical Physics|volume=19|issue=1|pages=25-52|bibcode=1978JSP....19...25F|citeseerx=10.1.1.418.9339|doi=10.1007/BF01020332}}</ref> 的一维映射在Logistic映射作为离散激光动力学的模型时容易察觉其具有的普遍性质。<math> x \rightarrow G x (1 - \tanh (x))</math>，x为电场振幅，<math>G</math><ref name="Okulov, A Yu 1986">{{cite journal|last1=Okulov|first1=A Yu|last2=Oraevskiĭ|first2=A N|year=1986|title=Space–temporal behavior of a light pulse propagating in a nonlinear nondispersive medium|journal=J. Opt. Soc. Am. B|volume=3|issue=5|pages=741–746|bibcode=1986OSAJB...3..741O|doi=10.1364/JOSAB.3.000741}}</ref>为激光增益分岔参数。

当<math>G</math>在区间<math>[0，\infty) </math>中逐渐增大时，其动力学由规则型变为混沌型，<ref name="Okulov, A Yu 1984">{{cite journal|last1=Okulov|first1=A Yu|last2=Oraevskiĭ|first2=A N|year=1984|title=Regular and stochastic self-modulation in a ring laser with nonlinear element|journal=Soviet Journal of Quantum Electronics|volume=14|issue=2|pages=1235–1237|bibcode=1984QuEle..14.1235O|doi=10.1070/QE1984v014n09ABEH006171}}</ref> 其分岔图在某些性质上与logistics映射相同。

当<math>G</math>在区间<math>[0，\infty) </math>中逐渐增大时，其动力学由规则型变为混沌型，<ref name="Okulov, A Yu 1984">{{cite journal|last1=Okulov|first1=A Yu|last2=Oraevskiĭ|first2=A N|year=1984|title=Regular and stochastic self-modulation in a ring laser with nonlinear element|journal=Soviet Journal of Quantum Electronics|volume=14|issue=2|pages=1235–1237|bibcode=1984QuEle..14.1235O|doi=10.1070/QE1984v014n09ABEH006171}}</ref> 其分岔图在某些性质上与Logistic映射相同。

更有趣的是，费根鲍姆常数<math>\delta</math>不仅仅对于logistics映射方程成立，它对一类映射方程：<math>x(t+1)=f(x(t))</math>都成立，并且取同样的值。其中<math>f(x)=a g(x)</math>，<math>a</math>为常数，<math>g(x)</math>为[0,1]区间上的logistics函数。例如，对于迭代方程：

更有趣的是，费根鲍姆常数<math>\delta</math>不仅仅对于Logistic映射方程成立，它对一类映射方程：<math>x(t+1)=f(x(t))</math>都成立，并且取同样的值。其中<math>f(x)=a g(x)</math>，<math>a</math>为常数，<math>g(x)</math>为[0,1]区间上的Logistic函数。例如，对于迭代方程：

:<math>f(x)=a-x^2=a(1-\frac{x^2}{a}).</math>

:<math>f(x)=a-x^2=a(1-\frac{x^2}{a}).</math>

==重整化群方程与费根鲍姆常数==

==重整化群方程与费根鲍姆常数==

通过图像可以观察到，logistics迭代的倍分岔图产生了自相似的现象，即从2^p周期到2^p+1周期的小山峰彼此相似。这种自相似性可以用费根鲍姆常数<math>\delta</math>和<math>\alpha</math>刻画。一般通过[[重整化]]方法得到两个常数的精确解，且发现对于不同方程的迭代，会得到同样的费根鲍姆常数。[[重整化方法]]可以根据系统所具备的自相似性，写出重整化方程，从而给出相变点的精确位置以及临界指数。这种方法在[[渗流模型]]，[[ISING模型]]中得到了成功的应用。因为在logistics迭代中也存在着自相似现象，因此，也可以利用重整化的思路。

通过图像可以观察到，Logistic迭代的倍分岔图产生了自相似的现象，即从2^p周期到2^p+1周期的小山峰彼此相似。这种自相似性可以用费根鲍姆常数<math>\delta</math>和<math>\alpha</math>刻画。一般通过[[重整化]]方法得到两个常数的精确解，且发现对于不同方程的迭代，会得到同样的费根鲍姆常数。[[重整化方法]]可以根据系统所具备的自相似性，写出重整化方程，从而给出相变点的精确位置以及临界指数。这种方法在[[渗流模型]]，[[ISING模型]]中得到了成功的应用。因为在Logistic迭代中也存在着自相似现象，因此，也可以利用重整化的思路。

===时间上的尺度变换===

===时间上的尺度变换===

所以，对logistics迭代进行扩缩，实际上就是在对迭代进行归并，从而将迭代的法则<math>f(x)</math>变换成<math>f^{(2)}(x)</math>。而迭代法则<math>f(x)</math>实际上制约了动力系统的全部性质。所以，当人们说系统在不同的分岔点具有自相似性质的时候，实际上就是在考察迭代法则<math>f(x)</math>在尺度变换下，即<math>f(x)\rightarrow f^{(2)}(x)</math>是否具有某种不变的形式。如果迭代法则<math>f(x)</math>具有了尺度变化下的不变性，那么根据前面的讨论，它的一切性质（包括分岔的长度和高度等）就会具有自相似性。因此，迭代法则<math>f(x)</math>就像[[ISING模型]]中的[[配分函数]]，起到了主导的作用。

所以，对Logistic迭代进行扩缩，实际上就是在对迭代进行归并，从而将迭代的法则<math>f(x)</math>变换成<math>f^{(2)}(x)</math>。而迭代法则<math>f(x)</math>实际上制约了动力系统的全部性质。所以，当人们说系统在不同的分岔点具有自相似性质的时候，实际上就是在考察迭代法则<math>f(x)</math>在尺度变换下，即<math>f(x)\rightarrow f^{(2)}(x)</math>是否具有某种不变的形式。如果迭代法则<math>f(x)</math>具有了尺度变化下的不变性，那么根据前面的讨论，它的一切性质（包括分岔的长度和高度等）就会具有自相似性。因此，迭代法则<math>f(x)</math>就像[[ISING模型]]中的[[配分函数]]，起到了主导的作用。

===重整化===

===重整化===

上一节仅仅针对logistics迭代，然而，对于其他的单峰函数，也有类似的自相似性，以及不同阶映射法则之间的图形变换对应。更普遍的是，可以把不同阶映射法则的自相似性作为一个前提而非最终的观察结果来引入，从而反过来求解什么样的函数<math>f(x)</math>才会具有这种性质。最终发现<math>f(x)</math>函数的具体性质并不重要，有相当一大类函数都可以最终得到同样的自相似性结果。而费根鲍姆常数也跟具体的迭代函数<math>f(x)</math>无关，而仅仅与所要求的系统具备的自相似性质有关。

上一节仅仅针对Logistic迭代，然而，对于其他的单峰函数，也有类似的自相似性，以及不同阶映射法则之间的图形变换对应。更普遍的是，可以把不同阶映射法则的自相似性作为一个前提而非最终的观察结果来引入，从而反过来求解什么样的函数<math>f(x)</math>才会具有这种性质。最终发现<math>f(x)</math>函数的具体性质并不重要，有相当一大类函数都可以最终得到同样的自相似性结果。而费根鲍姆常数也跟具体的迭代函数<math>f(x)</math>无关，而仅仅与所要求的系统具备的自相似性质有关。

==参见==

==参见==

*[https://en.wikipedia.org/wiki/logistics_function logistics函数]，logistics映射连续对应: [https://en.wikipedia.org/wiki/logistics_differential_equation 逻辑微分方程]

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function Logistic函数]，Logistic映射连续对应: [https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_differential_equation 逻辑微分方程]

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_stability#Definition_for_discrete-time_systems  李雅普诺夫稳定性  离散时间系统的定义]

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_stability#Definition_for_discrete-time_systems  李雅普诺夫稳定性  离散时间系统的定义]

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model  马尔萨斯生长模型]

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model  马尔萨斯生长模型]

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_points_of_complex_quadratic_mappings  复二次映射的周期点]，其中logistics映射是收敛于某一函数值的特殊情形

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_points_of_complex_quadratic_mappings  复二次映射的周期点]，其中Logistic映射是收敛于某一函数值的特殊情形

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Radial_basis_function_network  径向基函数网络]这说明了logistics映射的反问题。

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Radial_basis_function_network  径向基函数网络]这说明了Logistic映射的反问题。

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6der%27s_equation  Schröder's equation]

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6der%27s_equation  Schröder's equation]

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Stiff_equation  刚性方程]

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Stiff_equation  刚性方程]

==相关链接==

==相关链接==

*[https://web.archive.org/web/19991006003907/http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hangar/7959/logisticsmap.html  logistics映射]包含一个logistics映射的交互式计算机模拟

*[https://web.archive.org/web/19991006003907/http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hangar/7959/logisticmap.html  Logistic映射]包含一个Logistic映射的交互式计算机模拟

*[http://hypertextbook.com/chaos/  混沌超级教科书]介绍混沌和分形的入门读物

*[http://hypertextbook.com/chaos/  混沌超级教科书]介绍混沌和分形的入门读物

*[https://web.archive.org/web/20060211001015/http://www.ibiblio.org/e-notes/MSet/logistics.htm 使用java基于迭代和分岔图的交互式logistics映射]

*[https://web.archive.org/web/20060211001015/http://www.ibiblio.org/e-notes/MSet/Logistic.htm 使用java基于迭代和分岔图的交互式Logistic映射]

*[https://web.archive.org/web/20090821122553/http://www.users.bigpond.com/pmurray/Java/logisticsMap.html  显示定点的logistics映射]

*[https://web.archive.org/web/20090821122553/http://www.users.bigpond.com/pmurray/Java/LogisticMap.html  显示定点的Logistic映射]

*[http://www.egwald.ca/nonlineardynamics/logisticssmapchaos.php  混沌与logistics映射] Elmer G. Wiens

*[http://www.egwald.ca/nonlineardynamics/logisticsmapchaos.php  混沌与Logistic映射] Elmer G. Wiens

*[https://web.archive.org/web/20070415033246/http://lectures.nsitlounge.in/  复杂性与混沌(有声读物)罗杰怀特。第5章涵盖logistics映射]

*[https://web.archive.org/web/20070415033246/http://lectures.nsitlounge.in/  复杂性与混沌(有声读物)罗杰怀特。第5章涵盖Logistic映射]

*[http://www.wolframscience.com/nksonline/page-918c-text  “logistics映射的历史”] ，[[一种新科学 A New Kind of Science]]，作者[[史蒂芬·沃尔夫勒姆 Stephen Wolfram]]

*[http://www.wolframscience.com/nksonline/page-918c-text  “Logistic映射的历史”] ，[[一种新科学 A New Kind of Science]]，作者[[史蒂芬·沃尔夫勒姆 Stephen Wolfram]]

*[http://chaosbook.org/~predrag/papers/universalFunct.html  关于周期加倍的普遍性简短历史]

*[http://chaosbook.org/~predrag/papers/universalFunct.html  关于周期加倍的普遍性简短历史]

*[https://chaosbook.blogspot.com/1993/05/acceptance-speech-1993-nkt-research.html  普·维塔诺维的《宇宙功能并不那么短的历史》]

*[https://chaosbook.blogspot.com/1993/05/acceptance-speech-1993-nkt-research.html  普·维塔诺维的《宇宙功能并不那么短的历史》]

*[http://demonstrations.wolfram.com/OrbitDiagramOfTwoCoupledlogisticsMaps/  乘法耦合2周期的logistics映射]作者：C. Pellicer-Lostao and R. Lopez-Ruiz after work by Ed Pegg Jr  

*[http://demonstrations.wolfram.com/OrbitDiagramOfTwoCoupledLogisticMaps/  乘法耦合2周期的Logistic映射]作者：C. Pellicer-Lostao and R. Lopez-Ruiz after work by Ed Pegg Jr  

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Demonstrations_Project  Wolfram 演示项目]

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Demonstrations_Project  Wolfram 演示项目]

*[http://www.walkingrandomly.com/?p=2006  用 SAGE 方法研究离散logistics映射方程]

*[http://www.walkingrandomly.com/?p=2006  用 SAGE 方法研究离散Logistic映射方程]

==参考文献==

==参考文献==