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<math>Y=c X^{\alpha}</math>
<math>Y=c X^{\alpha}</math>
其中<math>c</math>和<math>\alpha</math>都是常数。这个方程有其深刻的内涵，目前已被证实适用于从细胞到国家横跨将近三十个数量级的复杂系统。
其中 <math>c</math> 和 <math>\alpha</math> 都是常数。这个方程有其深刻的内涵，目前已被证实适用于从细胞到国家横跨将近三十个数量级的复杂系统。
==生物学中的异速生长律==
==生物学中的异速生长律==
随着招潮蟹从小长到大，它的身体在某个时刻t的尺寸（用螃蟹壳的宽度来衡量）是 <math>X（t）</ math> ，而它的钳子的大小（如上图左图红色线段所示）用 <数学>Y(t)</ math> 来表示，则这两个变量之间服从下面的方程：
<math>Y(t)=c X(t)^{\alpha}</math>
<math>Y(t)=c X(t)^{\alpha}</math>
可以看出，<math>\log(Y(t))</math>和<math>\log(X(t))</math>构成了一个对线性依赖的变量。估计<math>a</math>指数可从类型2回归，如主轴回归或压轴回归分析来解释两变量的变化，与线性回归和最小二乘法回归相反，它不解释自变量（如对数体重）的误差方差。其他方法包括测量误差模型和特别类型的主成分分析法。异速生长常研究物种大小比率方面的形状差异。不同大小但共同形状的两个物种会在某个比率上有其共有维度。例如，一个生物体随年龄生长大小发生变化但形状却一直相似。个体发育学异速生长研究常用蜥蜴或蛇作为模式体。因为他们出生后都没有双亲育幼并且幼年与成年身体大小相差很大。蜥蜴在个体发育史上展现出明显的异速生长变化。除了关注生长，异速生长还研究给定年龄（或性别）下个体的形状变化，被称为静态异速生长。而物种间的比较研究常用于探索种间或进化的异速生长（另见[[系统发育比较方法]]）。
可以看出， <math>\log(Y(t))</math> 和 <math>\log(X(t))</math> 构成了一个对线性依赖的变量。估计 <math>a</math> 指数可从类型2回归，如主轴回归或压轴回归分析来解释两变量的变化，与线性回归和最小二乘法回归相反，它不解释自变量（如对数体重）的误差方差。其他方法包括测量误差模型和特别类型的主成分分析法。异速生长常研究物种大小比率方面的形状差异。不同大小但共同形状的两个物种会在某个比率上有其共有维度。例如，一个生物体随年龄生长大小发生变化但形状却一直相似。个体发育学异速生长研究常用蜥蜴或蛇作为模式体。因为他们出生后都没有双亲育幼并且幼年与成年身体大小相差很大。蜥蜴在个体发育史上展现出明显的异速生长变化。除了关注生长，异速生长还研究给定年龄（或性别）下个体的形状变化，被称为静态异速生长。而物种间的比较研究常用于探索种间或进化的异速生长（另见[[系统发育比较方法]]）。
通过将实际测量的螃蟹尺寸数据画在双对数坐标轴上，并且用最小二乘法(Ordinary Linear Regression)可以从实际数据估计出参数<math>c</math>和<math>\alpha</math>（如上图右图所示）。结果他们发现，实际估计出来的参数<math>\alpha</math>大于1（大概为1.57，为了对比，斜率为1的直线在上面右图所示），这就意味着如果招潮蟹体积增大了2倍，它的钳子的体积增长倍数要大于2倍，因此钳子的增长速度要远快于它的体积增长速度，这就是异速生长（Allometry或者Allometric scaling）一词的来源。（参考<ref name="Allometry- the study of biological scaling">[http://www.nature.com/scitable/knowledge/library/allometry-the-study-of-biological-scaling-13228439], Nature文章：Allometry: the study of biological scaling</ref>）
通过将实际测量的螃蟹尺寸数据画在双对数坐标轴上，并且用最小二乘法 Ordinary Linear Regression 可以从实际数据估计出参数 <math>c</math> 和 <math>\alpha</math> （如上图右图所示）。结果他们发现，实际估计出来的参数 <math>\alpha</math> 大于1（大概为1.57，为了对比，斜率为1的直线在上面右图所示），这就意味着如果招潮蟹体积增大了2倍，它的钳子的体积增长倍数要大于2倍，因此钳子的增长速度要远快于它的体积增长速度，这就是异速生长 Allometry 一词的来源。（参考<ref name="Allometry- the study of biological scaling">[http://www.nature.com/scitable/knowledge/library/allometry-the-study-of-biological-scaling-13228439], Nature文章：Allometry: the study of biological scaling</ref>）
Allometry 是一个合成词，allo-表示相异的，而-metry这个后缀则有测量、度量的意思。因此，这两个词根合起来就是相异的两种测量。而这里的相异又是何含义呢？我们要先理解Allometry的反义词Isometry一词，这里Iso是表示相同的。在上面的例子中，如果螃蟹钳子的生长速度和它的身体的生长速度是相同的，也就是说幂律指数 <math>\alpha=1</math> ，那就表示钳子和它的体积是线性的，它们以相同的速度增长 Isometry 。但是，事实上，我们测量到的真实数据告诉我们，这两个变量的生长速度并不一致，钳子快，身体慢，它们两者不协调，因此，就称为异速生长。
根据Wikipedia上面的解释，这里所说的同速增长Isometry并不一定就等于是线性增长关系，而是一种正常的按照欧几里德几何的增长方式。因此，Isometry就成为了一种作为参考和比较的类似于统计上的零模型的东西 Null model 。
:<math>\mathrm{Metabolic\ Rate} = 70 M^{0.75}</math>
:<math>\mathrm{Metabolic\ Rate} = 70 M^{0.75}</math>
<math>M</math>为体重，代谢率以千卡/天计。
<math>M</math> 为体重，代谢率以千卡/天计。
在上面的例子中，我们是将同一个生物个体不同时刻的钳子大小和个体大小两个变量作为数据点画在双对数坐标下得到异速生长律，这种异速生长律被称之为个体发生异速律 ontogenetic allometry 。我们也可以这样做：在同一个时间，找来一堆招潮蟹，这堆招潮蟹有大有小，我们将它们的钳子大小作为一个变量 <math>Y_i</math> (i表示个体），个头大小作为另一个变量 <math>X_i</math> ，然后将这些数据点画在同一个坐标轴上。这个时候，我们仍然可能得到一个 <math>Y_i</math> 与 <math>X_i</math> 之间的幂律关系，但是这个幂律关系描述的是不同个体在同一个时刻的异速生长律。在生物学中，这被称为静态的异速律 Static allometry 。
另外，除了研究同一个物种不同的个体在同一个时间截面内的异速律，我们还可以研究不同的物种在同一个时间截面内平均值的异速生长律。前者称为种内的异速生长律 Intraspecific allometry ，后者称为种间的异速生长律 Interspecific allometry 。
例如，我们考虑生物体的新陈代谢 <math>F</ math> 和它们的重量M之间的异速生长关系。Max Rubner 曾经对狗这个物种研究过这两个变量之间的关系，由于狗的品种繁多，而且他们的重量M的变化范围很大，因此画在双对数坐标下，会有一个很宽广的范围，可以研究种内的异速生长律。他的数据指出，狗种内的异速生长律的幂指数是2/3左右。后来又有人用鸟来做种内的异速生长律，结果也接近2/3。
尽管当前生物学已经积累了超海量数据，定量化研究也是势在必行。但是笔者认为，在众多的定量规律之中，Kleiber 预言的生物体的新陈代谢和生物量之间的3/4幂律是最重要的一个，也是最接近天体中的开普勒的候选者。
值得注意的是，对于不同尺度的生物系统来说，虽然他们的幂指数都非常接近3/4，但是这些直线的截距（也就是log(c)却不尽相同)。这意味着：处于同一条直线上的生物体具有相类似的网络结构（它们是同一种系统经过尺度变化，不断扩大出来的，这类似于一个个体从小到大的诚征）。而处在不同直线段上的生物体却不一定具有相似的结构。有关Kleiber律以及其它的种间的异速生长律的详细介绍，请大家参看：《流的探索》。
值得注意的是，对于不同尺度的生物系统来说，虽然他们的幂指数都非常接近3/4，但是这些直线的截距（也就是log(c)却不尽相同)。这意味着：处于同一条直线上的生物体具有相类似的网络结构（它们是同一种系统经过尺度变化，不断扩大出来的，这类似于一个个体从小到大的诚征）。而处在不同直线段上的生物体却不一定具有相似的结构。有关 Kleiber 律以及其它的种间的异速生长律的详细介绍，请大家参看：《流的探索》。
异速生长现象如果说仅适用于生物系统，那么它还不够普适。但事实上，近期越来越多的研究表明，异速生长方程：<math>Y=c X^{\alpha}</math>是一个相当普遍的方程，只不过在其他系统中，较难以找到统一的幂指数a。
异速生长现象如果说仅适用于生物系统，那么它还不够普适。但事实上，近期越来越多的研究表明，异速生长方程： <math>Y=c X^{\alpha}</math> 是一个相当普遍的方程，只不过在其他系统中，较难以找到统一的幂指数a。
从幂律方程<math>Y=c X^{\alpha}</math>中变形，可以得到：
从幂律方程 <math>Y=c X^{\alpha}</math> 中变形，可以得到：
这用GDP作为Y来说明该方程的意义。GDP衡量的是一个经济单位在一段时期内创造的总产值。那么<math>Y/X</math>就表示一个城市的人均GDP。通过实证研究得到不同国家的城市的幂律指数都>1（在上表中基本上是1.2左右），也就意味着人均GDP会随着城市规模的增长而增长。
这用GDP作为Y来说明该方程的意义。GDP衡量的是一个经济单位在一段时期内创造的总产值。那么 <math>Y/X</math> 就表示一个城市的人均GDP。通过实证研究得到不同国家的城市的幂律指数都>1（在上表中基本上是1.2左右），也就意味着人均GDP会随着城市规模的增长而增长。
在中国，每年都会有大量的人口涌进像北京、上海这样的大城市，在全世界，超过一半的人口是居住在城市的，而且这种比例还在增大。为什么会出现这种情况？人们为何希望聚集到大城市呢？通过方程<math>Y/X=c X^{0.2}</math>不难看到，这是因为城市越大，人均产出（或者等价地即为人均收入）会随着城市规模的增大而增加。所以，城市越大就意味着平均来说每个人的收入就会增加（暂时忽略贫富之间的差距），所以很多人更愿意居住在大城市。
在中国，每年都会有大量的人口涌进像北京、上海这样的大城市，在全世界，超过一半的人口是居住在城市的，而且这种比例还在增大。为什么会出现这种情况？人们为何希望聚集到大城市呢？通过方程 <math>Y/X=c X^{0.2}</math> 不难看到，这是因为城市越大，人均产出（或者等价地即为人均收入）会随着城市规模的增大而增加。所以，城市越大就意味着平均来说每个人的收入就会增加（暂时忽略贫富之间的差距），所以很多人更愿意居住在大城市。
再来看一个变量Y为石油销售量。在表中，这个变量的幂指数<math>a<1</math>，这意味着随着城市的增大，人均所消耗的石油在减少。因此，人们聚集在一起形成大城市实际上是一种更加经济地使用石油资源的方式。
对于广延性的变量，张分别研究了它们和三种不同的国家尺度变量（分别是地理尺度，即国土面积、人口尺度，即总人口和经济尺度即GDP）做异速生长律分析，即探索 <math>Y=cX^a</math> 是否成立，这里X是面积、人口和GDP这三种不同的尺度。Y是各种广延性变量。
例如，如果仍然研究人口和GDP这两个变量的异速生长关系，就会发现虽然<math>Y=c X^a</math>这个方程仍然成立，但是幂指数a会非常接近于1，而不是大于1，也就是说，对于国家来说，GDP和人口近似呈现出线性的关系。如下图：
例如，如果仍然研究人口和GDP这两个变量的异速生长关系，就会发现虽然 <math>Y=c X^a</math> 这个方程仍然成立，但是幂指数a会非常接近于1，而不是大于1，也就是说，对于国家来说，GDP和人口近似呈现出线性的关系。如下图：
[[File:Allcountries.jpg|400px|Allometric scaling between population and GDP among all countries|Allometric scaling between population and GDP among all countries]]
[[File:Allcountries.jpg|400px|Allometric scaling between population and GDP among all countries|Allometric scaling between population and GDP among all countries]]
通过把横轴的人口属性用就业的劳动力总数来替代，纵轴用等价购买力重新核算的GDP来代替普通的GDP，就会得到统计显著性更高的异速生长关系（事实上<math>R^2</math>从0.59提高到了0.88），而幂指数始终在1附近，几乎没变。由于世界上不同国家的差异非常大，因此用等价购买力折算的GDP比直接用GDP会更能反映出国家的实际产出能力。而在人口方面，由于并不是所有的人口都处于就业而产生产出的状态，因此利用就业的劳动力会去除更多的噪音。由此得到结论就是对于国家来说，GDP与人口成正比。
通过把横轴的人口属性用就业的劳动力总数来替代，纵轴用等价购买力重新核算的GDP来代替普通的GDP，就会得到统计显著性更高的异速生长关系（事实上 <math>R^2</math> 从0.59提高到了0.88），而幂指数始终在1附近，几乎没变。由于世界上不同国家的差异非常大，因此用等价购买力折算的GDP比直接用GDP会更能反映出国家的实际产出能力。而在人口方面，由于并不是所有的人口都处于就业而产生产出的状态，因此利用就业的劳动力会去除更多的噪音。由此得到结论就是对于国家来说，GDP与人口成正比。
可以看到，从石油消耗、电力消耗到出口总额、进口总额，再到电话线长度、收音机电台个数、互联网用户数、公路总长度都可以用国家的GDP得到预测。而且，统计的显著性 <math>R^2</math> 都高于0.6。
有几个幂律关系非常有趣，例如进口总额、出口总额与GDP的关系。如果把国家看作是由货币流构成的宏观系统，那么进口总额、出口总额类似于国家经济体的心尘代谢，而GDP相当于经济体的生物体的存量。因此，出口、入口与GDP的异速生长律可以看作是经济流的 Kleiber律。
另外一个有趣的幂律关系是碳排放 Carbon Emission 与GDP之间的超线性关系。根据研究，碳排放是与GDP呈现显著性很高的超线性关系的，因此GDP越高，碳排放就会越高。这是一种系统性的规律，很难通过个体行为而改变。因此，要抑制更多的碳排放，恐怕唯一的办法就是减少人类的产出。
近年来，人们还发现了普遍的标度律现象(Scaling)。所谓的标度现象就是大家俗称的幂律现象，
近年来，人们还发现了普遍的标度律现象 Scaling 。所谓的标度现象就是大家俗称的幂律现象，
而其它的标度律则关心的是单一一个个变量的幂律分布。例如Pareto定律就在说对于经济系统中的高收入人群来说，他们的收入X服从幂律分布，即你发现收入在区间<math>[x,x+dx]</math>之间的人的比例是<math>x^{-a}</math>。即：
而其它的标度律则关心的是单一一个个变量的幂律分布。例如Pareto定律就在说对于经济系统中的高收入人群来说，他们的收入X服从幂律分布，即你发现收入在区间 <math>[x,x+dx]</math> 之间的人的比例是 <math>x^{-a}</math> 。即：
注意这里只有收入X是研究的变量，而<math>p(x)</math>是刻画变量X分布性质的概率密度函数，所以它是单一变量的幂律。
注意这里只有收入X是研究的变量，而 <math>p(x)</math> 是刻画变量X分布性质的概率密度函数，所以它是单一变量的幂律。