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==引言==

==引言==

混沌理论关注确定性系统，其行为原则上可以预测。混沌系统在一段时间内是可以预测的，然后“显现”成为随机的。一个混沌系统的行为能够被有效预测的时间取决于三个因素: 预测中能够容忍的不确定性有多大，其当前状态能够被测量的有多准确，以及一个取决于系统动力学的时间尺度，称为[[李雅普诺夫时间 Lyapunov time]]。李雅普诺夫时间的一些例子是: 混沌电路，大约1毫秒; 天气系统，几天(未经证实) ; 内太阳系，400万到500万年。<ref>{{Cite journal|last=Wisdom|first=Jack|last2=Sussman|first2=Gerald Jay|date=1992-07-03|title=Chaotic Evolution of the Solar System|journal=Science|language=en|volume=257|issue=5066|pages=56–62|doi=10.1126/science.257.5066.56|issn=1095-9203|pmid=17800710|bibcode=1992Sci...257...56S|hdl=1721.1/5961|hdl-access=free}}</ref>在混沌系统中，预报中的不确定性随着时间的流逝呈指数增长。因此，从数学上来说，预测时间要比预测中比例不确定性的平方多一倍。这意味着，在实践中，一个有意义的预测不能超过两到三倍的李雅普诺夫时间间隔。当不能做出有意义的预测时，系统就会显得随机。<ref>''Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order'', Steven Strogatz, Hyperion, New York, 2003, pages 189–190.</ref>

混沌理论关注确定性系统，其行为原则上可以预测。混沌系统在一段时间内是可以预测的，然后“显现”成为随机的。一个混沌系统的行为能够被有效预测的时间取决于三个因素: 预测中能够容忍的不确定性有多大，其当前状态能够被测量的有多准确，以及一个取决于系统动力学的时间尺度，称为[[李雅普诺夫时间 Lyapunov time]]。李雅普诺夫时间的一些例子是: 混沌电路，大约1毫秒; 天气系统，几天(未经证实) ; 内太阳系，400万到500万年。<ref>{{Cite journal|last=Wisdom|first=Jack|last2=Sussman|first2=Gerald Jay|date=1992-07-03|title=Chaotic Evolution of the Solar System|journal=Science|language=en|volume=257|issue=5066|pages=56–62|doi=10.1126/science.257.5066.56|issn=1095-9203|pmid=17800710|bibcode=1992Sci...257...56S|hdl=1721.1/5961|hdl-access=free}}</ref>在混沌系统中，预报中的不确定性随着时间的流逝呈指数增长。因此，从数学上来说，预测时间要比预测中比例不确定性的平方多一倍。这意味着，在实践中，一个有意义的预测不能超过两到三倍的李雅普诺夫时间间隔。当不能做出有意义的预测时，系统就会显得随机。<ref>''Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order'', Steven Strogatz, Hyperion, New York, 2003, pages 189–190.</ref>

==混沌动力学==

==混沌动力学==

[[File:Chaos Sensitive Dependence.svg|thumb|由<span style="white-space: nowrap;">''x'' → 4 ''x'' (1 – ''x'')</span> and <span style="white-space: nowrap;">''y'' → (''x'' + ''y)'' [[Modulo operation|mod]] 1</span> 定义的映射显示对初始 x 位置的灵敏度。在这里，两组 x 和 y 值随着时间的推移从一个微小的初始差异显著分化。]]

[[File:Chaos Sensitive Dependence.svg|thumb|由<span style="white-space: nowrap;">''x'' → 4 ''x'' (1 – ''x'')</span> and <span style="white-space: nowrap;">''y'' → (''x'' + ''y)'' [[Modulo operation|mod]] 1</span> 定义的映射显示对初始 x 位置的灵敏度。在这里，两组 x 和 y 值随着时间的推移从一个微小的初始差异显著分化。]]

=== 混沌作为拓扑超对称性的自发分解 Chaos as a spontaneous breakdown of topological supersymmetry ===

=== 混沌作为拓扑超对称性的自发分解 Chaos as a spontaneous breakdown of topological supersymmetry ===

在连续时间动力系统中，混沌是拓扑超对称性的自发破坏现象，是所有随机和确定性(偏)微分方程的发展算子的内在属性。<ref>{{cite journal|date=March 2016|title=Introduction to Supersymmetric Theory of Stochastics|journal=Entropy|volume=18|issue=4|pages=108|doi=10.3390/e18040108|author=Ovchinnikov, I.V.|arxiv = 1511.03393 |bibcode = 2016Entrp..18..108O }}</ref><ref>{{cite journal|year=2016|title=Topological supersymmetry breaking: Definition and stochastic generalization of chaos and the limit of applicability of statistics|journal=Modern Physics Letters B|volume=30|issue=8|pages=1650086|doi=10.1142/S021798491650086X|author1=Ovchinnikov, I.V.|author2=Schwartz, R. N.|author3=Wang, K. L.|bibcode = 2016MPLB...3050086O |arxiv=1404.4076}}</ref>这种动态混沌图像不仅适用于确定性模型，也适用于有外部噪声的模型。外部噪声是物理学上的一个重要概括，因为在现实中，所有的动态系统都受到其随机环境的影响。在这幅图中，与混沌动力学相关的远程动力学行为(例如，蝴蝶效应)是[[戈德斯通定理]]的结果——在自发的拓扑超对称破坏中的应用。

在连续时间动力系统中，混沌是拓扑超对称性的自发破坏现象，是所有随机和确定性(偏)微分方程的发展算子的内在属性。<ref>{{cite journal|date=March 2016|title=Introduction to Supersymmetric Theory of Stochastics|journal=Entropy|volume=18|issue=4|pages=108|doi=10.3390/e18040108|author=Ovchinnikov, I.V.|arxiv = 1511.03393 |bibcode = 2016Entrp..18..108O }}</ref><ref>{{cite journal|year=2016|title=Topological supersymmetry breaking: Definition and stochastic generalization of chaos and the limit of applicability of statistics|journal=Modern Physics Letters B|volume=30|issue=8|pages=1650086|doi=10.1142/S021798491650086X|author1=Ovchinnikov, I.V.|author2=Schwartz, R. N.|author3=Wang, K. L.|bibcode = 2016MPLB...3050086O |arxiv=1404.4076}}</ref>这种动态混沌图像不仅适用于确定性模型，也适用于有外部噪声的模型。外部噪声是物理学上的一个重要概括，因为在现实中，所有的动态系统都受到其随机环境的影响。在这幅图中，与混沌动力学相关的远程动力学行为(例如，蝴蝶效应)是[[戈德斯通定理]]的结果——在自发的拓扑超对称破坏中的应用。

=== 对初始条件的敏感性 Sensitivity to initial conditions ===

=== 对初始条件的敏感性 Sensitivity to initial conditions ===

[[File:SensInitCond.gif|thumb|用于绘制 y 变量图的洛伦兹方程。 ''x'' 和 ''z''的初始条件保持不变，''y'' 的初始条件在'''1.001'''、'''1.0001'''和'''1.00001'''之间变化。<math>\rho</math>, <math>\sigma</math> 和<math>\beta</math> 分别为 '''45.92''', '''16''' 和 '''4 '''。从图表中可以看出，在这三种情况下，即使初始值的最细微差别也会在大约12秒的进化后引起重大变化。这是对初始条件敏感依赖的一个例子。]]

[[File:SensInitCond.gif|thumb|用于绘制 y 变量图的洛伦兹方程。 ''x'' 和 ''z''的初始条件保持不变，''y'' 的初始条件在'''1.001'''、'''1.0001'''和'''1.00001'''之间变化。<math>\rho</math>, <math>\sigma</math> 和<math>\beta</math> 分别为 '''45.92''', '''16''' 和 '''4 '''。从图表中可以看出，在这三种情况下，即使初始值的最细微差别也会在大约12秒的进化后引起重大变化。这是对初始条件敏感依赖的一个例子。]]

除了上述性质外，还存在与初始条件敏感性有关的其他性质。这些包括，例如，测量理论混合(如[[遍历理论 Kolmogorov automorphism]]中所讨论的)和K系统 K-system的性质。<ref name="WerndlCharlotte" />

除了上述性质外，还存在与初始条件敏感性有关的其他性质。这些包括，例如，测量理论混合(如[[遍历理论 Kolmogorov automorphism]]中所讨论的)和K系统 K-system的性质。<ref name="WerndlCharlotte" />

一个混沌系统可能具有演化变量的值序列，这些值精确地重复自己，从序列中的任何一点开始给出周期性行为。然而，这样的周期序列是排斥而不是吸引，这意味着如果演化变量在序列之外，无论多么接近，它都不会进入序列，事实上将偏离序列。因此，对于几乎所有的初始条件，变量的演化是混沌的，具有非周期性的行为。

一个混沌系统可能具有演化变量的值序列，这些值精确地重复自己，从序列中的任何一点开始给出周期性行为。然而，这样的周期序列是排斥而不是吸引，这意味着如果演化变量在序列之外，无论多么接近，它都不会进入序列，事实上将偏离序列。因此，对于几乎所有的初始条件，变量的演化是混沌的，具有非周期性的行为。

与定点吸引子和极限环不同，混沌系统产生的吸引子，即所谓的奇异吸引子，具有很大的细节和复杂性。奇异吸引子存在于连续动力系统(如 Lorenz 系统)和一些离散系统(如 Hénon 映射)中。其他的离散动力系统有一种叫做 Julia 集的排斥结构，这种结构形成于固定点吸引盆地的边界。 Julia 集可以被认为是奇异的排斥者。奇异吸引子和 Julia 集都具有典型的分形结构，可以计算出它们的分形维数。

与定点吸引子和极限环不同，混沌系统产生的吸引子，即所谓的奇异吸引子，具有很大的细节和复杂性。奇异吸引子存在于连续动力系统(如 Lorenz 系统)和一些离散系统(如 Hénon 映射)中。其他的离散动力系统有一种叫做 Julia 集的排斥结构，这种结构形成于固定点吸引盆地的边界。 Julia 集可以被认为是奇异的排斥者。奇异吸引子和 Julia 集都具有典型的分形结构，可以计算出它们的分形维数。

===混沌系统的最小复杂度 Minimum complexity of a chaotic system===

===混沌系统的最小复杂度 Minimum complexity of a chaotic system===

[[File:Logistic Map Bifurcation Diagram, Matplotlib.svg|thumb|right|分叉图的的逻辑映射<span style="white-space: nowrap;">''x'' → ''r'' ''x'' (1 – ''x'').</span>每个垂直切片显示一个特定值 ''r''的吸引子。 该图显示了随着 ''r''的增加周期翻倍，最终产生混沌。]]

[[File:Logistic Map Bifurcation Diagram, Matplotlib.svg|thumb|right|分叉图的的逻辑映射<span style="white-space: nowrap;">''x'' → ''r'' ''x'' (1 – ''x'').</span>每个垂直切片显示一个特定值 ''r''的吸引子。 该图显示了随着 ''r''的增加周期翻倍，最终产生混沌。]]

离散混沌系统，如 logistic 映射，无论其维数如何，都可以表现出奇怪的吸引子。具有抛物线最大值和[[费根鲍姆常数 Feigenbaum constants]]<math>\delta=4.664201...</math>,<math>\alpha=2.502907...</math> <ref>[http://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf Feigenbaum, M. J. (1976) "Universality in complex discrete dynamics", Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975-1976]</ref><ref name="Feigenbaum 25–52">{{cite journal |first=Mitchell |last=Feigenbaum |title=Quantitative universality for a class of nonlinear transformations |journal=Journal of Statistical Physics |volume=19 |issue=1 |pages=25–52 |date=July 1978 |doi=10.1007/BF01020332 |bibcode=1978JSP....19...25F|citeseerx=10.1.1.418.9339 }}</ref>的一维映射的普适性是显而易见的,将映射作为离散激光动力学的玩具模型提出:

离散混沌系统，如 logistic 映射，无论其维数如何，都可以表现出奇怪的吸引子。具有抛物线最大值和[[费根鲍姆常数 Feigenbaum constants]]<math>\delta=4.664201...</math>,<math>\alpha=2.502907...</math> <ref>[http://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf Feigenbaum, M. J. (1976) "Universality in complex discrete dynamics", Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975-1976]</ref><ref name="Feigenbaum 25–52">{{cite journal |first=Mitchell |last=Feigenbaum |title=Quantitative universality for a class of nonlinear transformations |journal=Journal of Statistical Physics |volume=19 |issue=1 |pages=25–52 |date=July 1978 |doi=10.1007/BF01020332 |bibcode=1978JSP....19...25F|citeseerx=10.1.1.418.9339 }}</ref>的一维映射的普适性是显而易见的,将映射作为离散激光动力学的玩具模型提出:

其中，<math>x</math>代表电场幅度 <math>G</math> <ref name="Okulov, A Yu 1986">{{cite journal |title=Space–temporal behavior of a light pulse propagating in a nonlinear nondispersive medium|journal=J. Opt. Soc. Am. B |volume=3 |issue=5 |pages=741–746 |year=1986 |last1= Okulov |first1=A Yu |last2=Oraevskiĭ |first2=A N  |doi=10.1364/JOSAB.3.000741|bibcode=1986OSAJB...3..741O}}</ref>为激光增益分岔参数。<math>G</math>在区间<math>[0, \infty)</math>的逐渐增加使动力学从正规变成了混沌，参考名称<ref name="Okulov, A Yu 1986">{{cite journal |title=Space–temporal behavior of a light pulse propagating in a nonlinear nondispersive medium|journal=J. Opt. Soc. Am. B |volume=3 |issue=5 |pages=741–746 |year=1986 |last1= Okulov |first1=A Yu |last2=Oraevskiĭ |first2=A N  |doi=10.1364/JOSAB.3.000741

其中，<math>x</math>代表电场幅度 <math>G</math> <ref name="Okulov, A Yu 1986">{{cite journal |title=Space–temporal behavior of a light pulse propagating in a nonlinear nondispersive medium|journal=J. Opt. Soc. Am. B |volume=3 |issue=5 |pages=741–746 |year=1986 |last1= Okulov |first1=A Yu |last2=Oraevskiĭ |first2=A N  |doi=10.1364/JOSAB.3.000741|bibcode=1986OSAJB...3..741O}}</ref>为激光增益分岔参数。<math>G</math>在区间<math>[0, \infty)</math>的逐渐增加使动力学从正规变成了混沌，<ref name="Okulov, A Yu 1986">{{cite journal |title=Space–temporal behavior of a light pulse propagating in a nonlinear nondispersive medium|journal=J. Opt. Soc. Am. B |volume=3 |issue=5 |pages=741–746 |year=1986 |last1= Okulov |first1=A Yu |last2=Oraevskiĭ |first2=A N  |doi=10.1364/JOSAB.3.000741

|bibcode=1986OSAJB...3..741O}}</ref> is laser gain as bifurcation parameter. The gradual increase of <math>G</math> at interval <math>[0, \infty)</math> changes dynamics from regular to chaotic one <ref name="Okulov, A Yu 1984">{{cite journal |doi=10.1070/QE1984v014n09ABEH006171  

|bibcode=1986OSAJB...3..741O}}</ref> is laser gain as bifurcation parameter. The gradual increase of <math>G</math> at interval <math>[0, \infty)</math> changes dynamics from regular to chaotic one <ref name="Okulov, A Yu 1984">{{cite journal |doi=10.1070/QE1984v014n09ABEH006171  

|title=Regular and stochastic self-modulation in a ring laser with nonlinear element

|title=Regular and stochastic self-modulation in a ring laser with nonlinear element

这里，''A''是一个可调参数。该方程对''A''=3/5有一个混沌解，可以用下面的冲击电路实现，所需的非线性是由两个二极管带来的:

这里，''A''是一个可调参数。该方程对''A''=3/5有一个混沌解，可以用下面的冲击电路实现，所需的非线性是由两个二极管带来的:

[[File:JerkCircuit01.png|frameless|upright=1.4|center]]

[[File:JerkCircuit01.png|frameless|upright=1.4|center]]

在上述电路中，除<math>R_A=R/A=5R/3</math>外，所有电阻值相等，所有电容值相等。主频是 <math>1/2\pi R C</math>。运算放大器0的输出对应于 x 变量，1的输出对应于 x 的一阶导数，2的输出对应于二阶导数。

 

 

 

 

 

 

In the above circuit, all resistors are of equal value, except <math>R_A=R/A=5R/3</math>, and all capacitors are of equal size. The dominant frequency is <math>1/2\pi R C</math>. The output of [[operational amplifier|op amp]] 0 will correspond to the x variable, the output of 1 corresponds to the first derivative of x and the output of 2 corresponds to the second derivative.

 

 

在上述电路中，除数学 r a r / a 5r / 3 / math 外，所有电阻值相等，所有电容值相等。主频是数学1 / 2 pi r c / math。运算放大器0的输出对应于 x 变量，1的输出对应于 x 的一阶导数，2的输出对应于二阶导数。

 

 

 

 

 

 

==自发秩序 Spontaneous order==

 

在适当的条件下，混沌自然而然地演化成一种步调一致的模式。在[[Kuramoto模型]]中，四个条件足以产生混沌系统的同步。

 

 

 

 

 

 

==Spontaneous order==

 

 

 

Under the right conditions, chaos spontaneously evolves into a lockstep pattern. In the [[Kuramoto model]], four conditions suffice to produce synchronization in a chaotic system.

 

 

Examples include the [[coupled oscillation]] of [[Christiaan Huygens]]' pendulums, fireflies, [[neuron]]s, the [[London Millennium Bridge]] resonance, and large arrays of [[Josephson junctions]].<ref>Steven Strogatz, ''Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order'', Hyperion, 2003.</ref>

Examples include the [[coupled oscillation]] of [[Christiaan Huygens]]' pendulums, fireflies, [[neuron]]s, the [[London Millennium Bridge]] resonance, and large arrays of [[Josephson junctions]].<ref>Steven Strogatz, ''Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order'', Hyperion, 2003.</ref>

Examples include the coupled oscillation of Christiaan Huygens' pendulums, fireflies, neurons, the London Millennium Bridge resonance, and large arrays of Josephson junctions.

Examples include the coupled oscillation of Christiaan Huygens' pendulums, fireflies, neurons, the London Millennium Bridge resonance, and large arrays of Josephson junctions.

例子包括[[克里斯蒂安·惠更斯 Christiaan Huygens]]钟摆的耦合振荡、萤火虫、神经元、伦敦千禧桥共振以及大型[[约瑟夫森结阵列 Josephson junctions]]。

 

 

 

 

 

 

 

 

[[File:Barnsley fern plotted with VisSim.PNG|thumb|upright|[[Barnsley fern]] created using the [[chaos game]]. Natural forms (ferns, clouds, mountains, etc.) may be recreated through an [[iterated function system]] (IFS).]]

 

 

[[巴恩斯利蕨用混沌游戏创建。自然形态(蕨类、云、山等)可以通过迭代函数系统来重建。]

An early proponent of chaos theory was Henri Poincaré. In the 1880s, while studying the three-body problem, he found that there can be orbits that are nonperiodic, and yet not forever increasing nor approaching a fixed point. In 1898, Jacques Hadamard published an influential study of the chaotic motion of a free particle gliding frictionlessly on a surface of constant negative curvature, called "Hadamard's billiards". Hadamard was able to show that all trajectories are unstable, in that all particle trajectories diverge exponentially from one another, with a positive Lyapunov exponent.

An early proponent of chaos theory was Henri Poincaré. In the 1880s, while studying the three-body problem, he found that there can be orbits that are nonperiodic, and yet not forever increasing nor approaching a fixed point. In 1898, Jacques Hadamard published an influential study of the chaotic motion of a free particle gliding frictionlessly on a surface of constant negative curvature, called "Hadamard's billiards". Hadamard was able to show that all trajectories are unstable, in that all particle trajectories diverge exponentially from one another, with a positive Lyapunov exponent.

亨利 · 庞加莱是混沌理论的早期支持者。19世纪80年代，在研究三体时，他发现有些轨道是非周期性的，但不会永远增加，也不会接近一个固定点。1898年，雅克·阿达马发表了一篇影响深远的论文，研究自由粒子在恒负曲率表面上无摩擦滑行的混沌运动，这篇论文被称为“ Hadamard 台球”。哈达马德能够证明所有的轨道都是不稳定的，所有的粒子轨道都以指数形式彼此分离，李亚普诺夫指数为正。

亨利· 庞加莱 Henri Poincaré是混沌理论的早期支持者。19世纪80年代，在研究三体时，他发现有些轨道是非周期性的，但不会永远增加，也不会接近一个固定点。1898年，雅克·阿达马发表了一篇影响深远的论文，研究自由粒子在恒负曲率表面上无摩擦滑行的混沌运动，这篇论文被称为“ Hadamard 台球”。哈达马德能够证明所有的轨道都是不稳定的，所有的粒子轨道都以指数形式彼此分离，李亚普诺夫指数为正。