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在更大的国家尺度上来探索异速生长律。以下讨论主要基于[[张江]]已发表的一篇论文<ref name="country">{{cite journal|last=Zhang|first=Jiang|title=Allometric scaling of countries|journal=Physica A|time=2010|page=4887–4896|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437110006072}}</ref>。

在更大的国家尺度上来探索异速生长律。以下讨论主要基于[[张江]]已发表的一篇论文<ref name="country">{{cite journal|last=Zhang|first=Jiang|title=Allometric scaling of countries|journal=Physica A|time=2010|page=4887–4896|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437110006072}}</ref>。

研究异速生长定律，需要实证数据。[[张江]]发现，Mathematica 6.0 软件之中就包含了大量的数据，且通过 Mathamtica 中 CountryData 命令，可以将自己的 PC 机与 Wolfram 公司提供的在线数据库相连，从而访问世界各国各方面的数据（包括地理、人口、经济、贸易等）。基于该数据库，[[张江]]展开了大量的关于异速生长律的研究。

研究异速生长定律，需要实证数据。[[张江]]发现，Mathematica 6.0 软件之中就包含了大量的数据，且通过 Mathamtica 中 CountryData 命令，可以将自己的 PC 机与 Wolfram 公司提供的在线数据库相连，从而访问世界各国各方面的数据（包括地理、人口、经济、贸易等）。基于该数据库，[[张江]]展开了大量的关于异速生长律的研究。

   

   

在这个研究中，[[张江]]的团队对273个国家或地区的104个数值型的变量进行了系统性的静态异速生长律研究。首先，将所有变量划分成了两类：1、广延型的变量；2、强度型变量。在物理中，所谓的广延型变量是诸如能量、质量、熵等具有子系统可加性的变量。在国家中，一些宏观总量，如人口、GDP、面积、出口、进口等都属于广延型变量。而平均的人均GDP，人口的生育率、死亡率等类似于物理中的温度、压强被称为强度量。

在这个研究中，[[张江]]的团队对273个国家或地区的104个数值型的变量进行了系统性的静态异速生长律研究。首先，将所有变量划分成了两类：1、广延型的变量；2、强度型变量。在物理中，所谓的广延型变量是诸如能量、质量、熵等具有子系统可加性的变量。在国家中，一些宏观总量，如人口、GDP、面积、出口、进口等都属于广延型变量。而平均的人均GDP，人口的生育率、死亡率等类似于物理中的温度、压强被称为强度量。

   

   

对于广延性的变量，[[张江]]分别研究了它们和三种不同的国家尺度变量（分别是地理尺度，即国土面积、人口尺度，即总人口和经济尺度即GDP）做异速生长律分析，即探索 <math>Y=cX^a</math> 是否成立，这里X是面积、人口和GDP这三种不同的尺度。Y是各种广延性变量。

对于广延性的变量，[[张江]]分别研究了它们和三种不同的国家尺度变量（分别是地理尺度，即国土面积、人口尺度，即总人口和经济尺度即GDP）做异速生长律分析，即探索 <math>Y=cX^a</math> 是否成立，这里X是面积、人口和GDP这三种不同的尺度。Y是各种广延性变量。

   

   

得到了一些有趣的结论如下：

得到了一些有趣的结论如下：

   

   

'''1、国家作为更大的经济体与城市呈现出明显的差异'''

'''1、国家作为更大的经济体与城市呈现出明显的差异'''

   

   

例如，如果仍然研究人口和GDP这两个变量的异速生长关系，就会发现虽然 <math>Y=c X^a</math> 这个方程仍然成立，但是幂指数a会非常接近于1，而不是大于1，也就是说，对于国家来说，GDP和人口近似呈现出线性的关系。如下图：

例如，如果仍然研究人口和GDP这两个变量的异速生长关系，就会发现虽然 <math>Y=c X^a</math> 这个方程仍然成立，但是幂指数a会非常接近于1，而不是大于1，也就是说，对于国家来说，GDP和人口近似呈现出线性的关系。如下图：

在这张图中，每个数据点都表示一个国家。红色的直线和黑色的虚线分别是用普通最小二乘法和主轴回归法得到的对异速生长关系幂指数的估计值。在本研究中，主要采纳主轴法得到的结果，呈现的结果就是国家的人口与GDP之间的关系呈现线性。

在这张图中，每个数据点都表示一个国家。红色的直线和黑色的虚线分别是用普通最小二乘法和主轴回归法得到的对异速生长关系幂指数的估计值。在本研究中，主要采纳主轴法得到的结果，呈现的结果就是国家的人口与GDP之间的关系呈现线性。

   

   

也许你会认为这个数据并不好，噪声很大，因此统计的显著性并不高（<math>R^2=0.59</math>），这样得到的幂指数a的估计会不会不准呢？事实上，可以通过选择不同的属性来得到更加准确、显著性更高的人口与产出之间的关系，如下图：

也许你会认为这个数据并不好，噪声很大，因此统计的显著性并不高（<math>R^2=0.59</math>），这样得到的幂指数a的估计会不会不准呢？事实上，可以通过选择不同的属性来得到更加准确、显著性更高的人口与产出之间的关系，如下图：

[[File:201210250819_improvement.jpg|center|Refinationofallcountries]]

[[File:201210250819_improvement.jpg|center|Refinationofallcountries]]

通过把横轴的人口属性用就业的劳动力总数来替代，纵轴用等价购买力重新核算的GDP来代替普通的GDP，就会得到统计显著性更高的异速生长关系（事实上 <math>R^2</math> 从0.59提高到了0.88），而幂指数始终在1附近，几乎没变。由于世界上不同国家的差异非常大，因此用等价购买力折算的GDP比直接用GDP会更能反映出国家的实际产出能力。而在人口方面，由于并不是所有的人口都处于就业而产生产出的状态，因此利用就业的劳动力会去除更多的噪音。由此得到结论就是对于国家来说，GDP与人口成正比。

通过把横轴的人口属性用就业的劳动力总数来替代，纵轴用等价购买力重新核算的GDP来代替普通的GDP，就会得到统计显著性更高的异速生长关系（事实上 <math>R^2</math> 从0.59提高到了0.88），而幂指数始终在1附近，几乎没变。由于世界上不同国家的差异非常大，因此用等价购买力折算的GDP比直接用GDP会更能反映出国家的实际产出能力。而在人口方面，由于并不是所有的人口都处于就业而产生产出的状态，因此利用就业的劳动力会去除更多的噪音。由此得到结论就是对于国家来说，GDP与人口成正比。

   

   

由此，已经得到了一个与城市截然不同的结论。在城市中，人口与GDP的关系是超线性的，即随着城市规模的增大，人均产出会增加。但是对于国家来说，人口越多的国家并不意味着更富裕，即越高的人均GDP（想一想印度和中国这两个国家，在图中的最右侧的两个点，就可以知道了）。事实上，在 Bettencourt 的城市文章<ref name="city"/>进行了对比发现了更多的不同：

由此，已经得到了一个与城市截然不同的结论。在城市中，人口与GDP的关系是超线性的，即随着城市规模的增大，人均产出会增加。但是对于国家来说，人口越多的国家并不意味着更富裕，即越高的人均GDP（想一想印度和中国这两个国家，在图中的最右侧的两个点，就可以知道了）。事实上，在 Bettencourt 的城市文章<ref name="city"/>进行了对比发现了更多的不同：

[[File:Cityandcountry.jpg|center|Comparison between city and country]]

[[File:Cityandcountry.jpg|center|Comparison between city and country]]

从这张表，可以清楚地知道，随着人口的上升，城市的人均使用面积会减少，人均产出、电力消耗、感染艾滋病的总数会提高，石油消耗会减少，这体现了城市的规模效应。对于国家来说，随着人口的增加，人均用地、电力消耗、石油消耗、艾滋病感染都会增加，而人均产出近似不变，这说明，相比较城市来说，国家这种更大规模的系统并不呈现出规模经济效应。

从这张表，可以清楚地知道，随着人口的上升，城市的人均使用面积会减少，人均产出、电力消耗、感染艾滋病的总数会提高，石油消耗会减少，这体现了城市的规模效应。对于国家来说，随着人口的增加，人均用地、电力消耗、石油消耗、艾滋病感染都会增加，而人均产出近似不变，这说明，相比较城市来说，国家这种更大规模的系统并不呈现出规模经济效应。

为什么会存在这样的不同呢？很有可能国家相对于城市来说，他的封闭性越差，人口、物品、能量的流入和流出会受到更大的限制。这导致了国家不能形成有效的自组织系统。另外，由于城市属于人口密集的地区，而国家中大片的土地是处于没有人口居住的农村地区，所以国家的总产出近似与人口成正比而并非呈现出超线性关系。

为什么会存在这样的不同呢？很有可能国家相对于城市来说，他的封闭性越差，人口、物品、能量的流入和流出会受到更大的限制。这导致了国家不能形成有效的自组织系统。另外，由于城市属于人口密集的地区，而国家中大片的土地是处于没有人口居住的农村地区，所以国家的总产出近似与人口成正比而并非呈现出超线性关系。

'''2、GDP会比人口更好地衡量国家的尺度'''

'''2、GDP会比人口更好地衡量国家的尺度'''

   

   

[[张江]]通过研究发现，很多宏观变量都与国家的GDP而非人口形成了显著性很高的幂律关系，如下表所示：

[[张江]]通过研究发现，很多宏观变量都与国家的GDP而非人口形成了显著性很高的幂律关系，如下表所示：

[[File:Bigtable.jpg|center|400px]]

[[File:Bigtable.jpg|center|400px]]

可以看到，从石油消耗、电力消耗到出口总额、进口总额，再到电话线长度、收音机电台个数、互联网用户数、公路总长度都可以用国家的GDP得到预测。而且，统计的显著性 <math>R^2</math> 都高于0.6。

可以看到，从石油消耗、电力消耗到出口总额、进口总额，再到电话线长度、收音机电台个数、互联网用户数、公路总长度都可以用国家的GDP得到预测。而且，统计的显著性 <math>R^2</math> 都高于0.6。

有几个幂律关系非常有趣，例如进口总额、出口总额与GDP的关系。如果把国家看作是由货币流构成的宏观系统，那么进口总额、出口总额类似于国家经济体的心尘代谢，而GDP相当于经济体的生物体的存量。因此，出口、入口与GDP的异速生长律可以看作是经济流的 Kleiber律。

有几个幂律关系非常有趣，例如进口总额、出口总额与GDP的关系。如果把国家看作是由货币流构成的宏观系统，那么进口总额、出口总额类似于国家经济体的心尘代谢，而GDP相当于经济体的生物体的存量。因此，出口、入口与GDP的异速生长律可以看作是经济流的 Kleiber律。

另外一个有趣的幂律关系是碳排放 Carbon Emission 与GDP之间的超线性关系。根据研究，碳排放是与GDP呈现显著性很高的超线性关系的，因此GDP越高，碳排放就会越高。这是一种系统性的规律，很难通过个体行为而改变。因此，要抑制更多的碳排放，恐怕唯一的办法就是减少人类的产出。

另外一个有趣的幂律关系是碳排放 Carbon Emission 与GDP之间的超线性关系。根据研究，碳排放是与GDP呈现显著性很高的超线性关系的，因此GDP越高，碳排放就会越高。这是一种系统性的规律，很难通过个体行为而改变。因此，要抑制更多的碳排放，恐怕唯一的办法就是减少人类的产出。

 

最后，[[张江]]还研究了各种强度量与人均GDP之间的关系。如下图展示的两个例子：  

最后，[[张江]]还研究了各种强度量与人均GDP之间的关系。如下图展示的两个例子：

[[File:Gdppercapita.jpg|center|GDP Percapita]]

[[File:Gdppercapita.jpg|center|GDP Percapita]]

随着国家变得越来越富有（人均GDP的提高），总和生育率下降而平均年龄生高。而且这些强度量与人均GDP呈现了幂律的关系。[[张江]]的团队猜想这类幂律关系与人类作为生物体需要进行新陈代谢，因此必然遵循[[代谢生态学]]的约束（参看《[[“流”的探索]]》）。

随着国家变得越来越富有（人均GDP的提高），总和生育率下降而平均年龄生高。而且这些强度量与人均GDP呈现了幂律的关系。[[张江]]的团队猜想这类幂律关系与人类作为生物体需要进行新陈代谢，因此必然遵循[[代谢生态学]]的约束（参看《[[“流”的探索]]》）。