更改

混沌理论起源于遍历理论。后来的研究，也是关于非线性微分方程的主题，由乔治·戴维·伯克霍夫 George David Birkhoff，<ref>George D. Birkhoff, ''Dynamical Systems,'' vol.&nbsp;9 of the American Mathematical Society Colloquium Publications (Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1927)</ref>安德雷·柯尔莫哥洛夫 Andrey Nikolaevich Kolmogorov，<ref>{{cite journal| last=Kolmogorov | first=Andrey Nikolaevich | authorlink=Andrey Nikolaevich Kolmogorov | year=1941 | title=Local structure of turbulence in an incompressible fluid for very large Reynolds numbers | journal=Doklady Akademii Nauk SSSR | volume=30 | issue=4 | pages=301–5 |bibcode = 1941DoSSR..30..301K | title-link=turbulence }} Reprinted in: {{cite journal |journal=Proceedings of the Royal Society A |volume=434 |pages=9–13 |year=1991 |doi=10.1098/rspa.1991.0075 |title=The Local Structure of Turbulence in Incompressible Viscous Fluid for Very Large Reynolds Numbers |last1=Kolmogorov |first1=A. N. |issue=1890 |bibcode=1991RSPSA.434....9K|url=https://www.semanticscholar.org/paper/202870134de1f771f678cb540d2ea082b1ab9c5d }}</ref><ref>{{cite journal| last=Kolmogorov | first=A. N. | year=1941 | title=On degeneration of isotropic turbulence in an incompressible viscous liquid | journal=Doklady Akademii Nauk SSSR | volume=31 | issue=6 | pages=538–540}} Reprinted in: {{cite journal |journal=Proceedings of the Royal Society A |volume=434 |pages=15–17 |year=1991 |doi=10.1098/rspa.1991.0076 |title=Dissipation of Energy in the Locally Isotropic Turbulence |last1=Kolmogorov |first1=A. N. |issue=1890 |bibcode=1991RSPSA.434...15K|url=https://www.semanticscholar.org/paper/5874066f6114b679a74fc8edc9db03e48d22251c }}</ref><ref>{{cite book| last=Kolmogorov | first=A. N. | year=1954 | title=Preservation of conditionally periodic movements with small change in the Hamiltonian function | journal=Doklady Akademii Nauk SSSR | volume=98 | pages=527–530| bibcode=1979LNP....93...51K| doi=10.1007/BFb0021737| series=Lecture Notes in Physics| isbn=978-3-540-09120-2}} See also [[Kolmogorov–Arnold–Moser theorem]]</ref>玛丽·露西·卡特赖特 Mary Lucy Cartwright 和约翰·恩瑟·李特尔伍德 John Edensor Littlewood，<ref>{{cite journal |last1=Cartwright |first1=Mary L. |last2=Littlewood |first2=John E. |title=On non-linear differential equations of the second order, I: The equation ''y''" + ''k''(1−''y''²)''y<nowiki>'</nowiki>'' + ''y'' = ''b''λkcos(λ''t'' + ''a''), ''k'' large |journal=Journal of the London Mathematical Society |volume=20 |pages=180–9 |year=1945 |doi=10.1112/jlms/s1-20.3.180 |issue=3 }} See also: [[Van der Pol oscillator]]</ref>和[[斯蒂芬·斯梅尔 Stephen Smale]]进行。<ref>{{cite journal |author=Smale, Stephen |title=Morse inequalities for a dynamical system |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=66 |pages=43–49 |date=January 1960 |doi=10.1090/S0002-9904-1960-10386-2 |bibcode=1994BAMaS..30..205W |doi-access=free }}</ref>除了Smale，这些研究都直接受到物理学的启发: Birkhoff的三体，Kolmogorov 的湍流和天文学问题，Cartwright和Littlewood的无线电工程。虽然还没有观察到混沌的行星运动，但实验人员已经遇到了流体运动中的湍流和无线电电路中的非周期性振荡，而没有一个理论来解释他们所看到的。

混沌理论起源于遍历理论。后来的研究，也是关于非线性微分方程的主题，由乔治·戴维·伯克霍夫 George David Birkhoff，<ref>George D. Birkhoff, ''Dynamical Systems,'' vol.&nbsp;9 of the American Mathematical Society Colloquium Publications (Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1927)</ref>安德雷·柯尔莫哥洛夫 Andrey Nikolaevich Kolmogorov，<ref>{{cite journal| last=Kolmogorov | first=Andrey Nikolaevich |year=1941 | title=Local structure of turbulence in an incompressible fluid for very large Reynolds numbers | journal=Doklady Akademii Nauk SSSR | volume=30 | issue=4 | pages=301–5 |bibcode = 1941DoSSR..30..301K | title-link=turbulence }} Reprinted in: {{cite journal |journal=Proceedings of the Royal Society A |volume=434 |pages=9–13 |year=1991 |doi=10.1098/rspa.1991.0075 |title=The Local Structure of Turbulence in Incompressible Viscous Fluid for Very Large Reynolds Numbers |last1=Kolmogorov |first1=A. N. |issue=1890 |bibcode=1991RSPSA.434....9K|url=https://www.semanticscholar.org/paper/202870134de1f771f678cb540d2ea082b1ab9c5d }}</ref><ref>{{cite journal| last=Kolmogorov | first=A. N. | year=1941 | title=On degeneration of isotropic turbulence in an incompressible viscous liquid | journal=Doklady Akademii Nauk SSSR | volume=31 | issue=6 | pages=538–540}} Reprinted in: {{cite journal |journal=Proceedings of the Royal Society A |volume=434 |pages=15–17 |year=1991 |doi=10.1098/rspa.1991.0076 |title=Dissipation of Energy in the Locally Isotropic Turbulence |last1=Kolmogorov |first1=A. N. |issue=1890 |bibcode=1991RSPSA.434...15K|url=https://www.semanticscholar.org/paper/5874066f6114b679a74fc8edc9db03e48d22251c }}</ref><ref>{{cite book| last=Kolmogorov | first=A. N. | year=1954 | title=Preservation of conditionally periodic movements with small change in the Hamiltonian function | journal=Doklady Akademii Nauk SSSR | volume=98 | pages=527–530| bibcode=1979LNP....93...51K| doi=10.1007/BFb0021737| series=Lecture Notes in Physics| isbn=978-3-540-09120-2}} See also [[Kolmogorov–Arnold–Moser theorem]]</ref>玛丽·露西·卡特赖特 Mary Lucy Cartwright 和约翰·恩瑟·李特尔伍德 John Edensor Littlewood，<ref>{{cite journal |last1=Cartwright |first1=Mary L. |last2=Littlewood |first2=John E. |title=On non-linear differential equations of the second order, I: The equation ''y''" + ''k''(1−''y''²)''y<nowiki>'</nowiki>'' + ''y'' = ''b''λkcos(λ''t'' + ''a''), ''k'' large |journal=Journal of the London Mathematical Society |volume=20 |pages=180–9 |year=1945 |doi=10.1112/jlms/s1-20.3.180 |issue=3 }} See also: [[Van der Pol oscillator]]</ref>和[[斯蒂芬·斯梅尔 Stephen Smale]]进行。<ref>{{cite journal |author=Smale, Stephen |title=Morse inequalities for a dynamical system |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=66 |pages=43–49 |date=January 1960 |doi=10.1090/S0002-9904-1960-10386-2 |bibcode=1994BAMaS..30..205W |doi-access=free }}</ref>除了Smale，这些研究都直接受到物理学的启发: Birkhoff的三体，Kolmogorov 的湍流和天文学问题，Cartwright和Littlewood的无线电工程。虽然还没有观察到混沌的行星运动，但实验人员已经遇到了流体运动中的湍流和无线电电路中的非周期性振荡，而没有一个理论来解释他们所看到的。

1963年，[[伯努·瓦·曼德布洛特 Benoit Mandelbrot]]在棉花价格数据中发现了各种规模的循环模式。<ref>{{cite journal|first = Benoît|last = Mandelbrot|year = 1963|title = The variation of certain speculative prices|journal = Journal of Business|volume = 36|pages = 394–419|doi = 10.1086/294632|issue = 4|jstor=2350970}}</ref>事先他研究过信息理论，并得出结论，噪音的模式类似于康托集: 在任何尺度上，包含噪音的周期与无误差的周期的比例是一个常数——因此误差是不可避免的，必须通过引入冗余来计划。<ref>{{cite journal |author1=Berger J.M. |author2=Mandelbrot B. | year = 1963 | title = A new model for error clustering in telephone circuits | journal = IBM Journal of Research and Development | volume = 7 |issue=3 | pages = 224–236 | doi=10.1147/rd.73.0224}}</ref>Mandelbrot既描述了“诺亚效应”(可能会发生突然的不连续变化) ，也描述了“约瑟夫效应 Joseph effect”(可能会持续一段时间，然后突然改变)。<ref>{{cite book |author=Mandelbrot, B. |title=The Fractal Geometry of Nature |publisher=Freeman |location=New York |year=1977 |page=248 }}</ref><ref>See also: {{cite book |last1=Mandelbrot |first1=Benoît B. |last2=Hudson |first2=Richard L. |title=The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward |url=https://archive.org/details/misbehaviorofmar00beno |url-access=registration |publisher=Basic Books |location=New York |year=2004 |page=[https://archive.org/details/misbehaviorofmar00beno/page/201 201] }}</ref>这挑战了价格变化是正态分布的观点。1967年，他出版了《英国的海岸线有多长？统计自相似性和分维数”，显示海岸线的长度随测量仪器的规模而变化，在所有规模上都与仪器相似，而且对于一个极小的测量装置来说，长度是无限的。<ref>{{cite journal |last=Mandelbrot |first=Benoît |title=How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension |journal=Science |volume=156 |issue=3775 |pages=636–8 |date=5 May 1967 |doi=10.1126/science.156.3775.636 |pmid=17837158 |bibcode = 1967Sci...156..636M }}</ref>他认为，从远处(0维)看，一个线球似乎是一个点，从相当接近(3维)看，一个球，或一个曲线(一维) ，他认为，一个物体的尺寸是相对于观察者，可能是分数。如果一个物体的不规则性在不同尺度上是常数(“自相似”) ，那么这个物体就是一个分形(例如门格尔海绵 the Menger sponge、赛尔皮滑雪垫圈 the Sierpiński gasket和科氏曲线或雪花 Koch curve or snowflake，它们是无限长的，但覆盖着一个有限的空间，分形维数约为1.2619)。1982年，Mandelbrot发表了《自然的分形几何》 ，成为混沌理论的经典之作。<ref>{{cite book|author=Mandelbrot, B.|title=The Fractal Geometry of Nature|date=1982|place=New York|publisher=Macmillan|isbn=978-0716711865|url=https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno}}</ref>生物学系统，如循环系统和支气管系统的分支证明符合一个分形模型。<ref>{{cite book |last1=Buldyrev |first1=S.V. |last2=Goldberger |first2=A.L. | last3=Havlin |first3=S. | authorlink3=Shlomo Havlin|last4=Peng |first4=C.K. | last5=Stanley | first5=H.E. |authorlink5=H. Eugene Stanley|editor1-first=Armin |editor1-last=Bunde  |editor2-first=Shlomo | editor2-last=Havlin | editor2-link=Shlomo Havlin |title=Fractals in Science |publisher=Springer |year=1994 |pages=49–89 |chapter=Fractals in Biology and Medicine: From DNA to the Heartbeat |isbn=978-3-540-56220-7}}</ref>

1963年，[[伯努·瓦·曼德布洛特 Benoit Mandelbrot]]在棉花价格数据中发现了各种规模的循环模式。<ref>{{cite journal|first = Benoît|last = Mandelbrot|year = 1963|title = The variation of certain speculative prices|journal = Journal of Business|volume = 36|pages = 394–419|doi = 10.1086/294632|issue = 4|jstor=2350970}}</ref>事先他研究过信息理论，并得出结论，噪音的模式类似于康托集: 在任何尺度上，包含噪音的周期与无误差的周期的比例是一个常数——因此误差是不可避免的，必须通过引入冗余来计划。<ref>{{cite journal |author1=Berger J.M. |author2=Mandelbrot B. | year = 1963 | title = A new model for error clustering in telephone circuits | journal = IBM Journal of Research and Development | volume = 7 |issue=3 | pages = 224–236 | doi=10.1147/rd.73.0224}}</ref>Mandelbrot既描述了“诺亚效应”(可能会发生突然的不连续变化) ，也描述了“约瑟夫效应 Joseph effect”(可能会持续一段时间，然后突然改变)。<ref>{{cite book |author=Mandelbrot, B. |title=The Fractal Geometry of Nature |publisher=Freeman |location=New York |year=1977 |page=248 }}</ref><ref>See also: {{cite book |last1=Mandelbrot |first1=Benoît B. |last2=Hudson |first2=Richard L. |title=The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward |url=https://archive.org/details/misbehaviorofmar00beno |url-access=registration |publisher=Basic Books |location=New York |year=2004 |page=[https://archive.org/details/misbehaviorofmar00beno/page/201 201] }}</ref>这挑战了价格变化是正态分布的观点。1967年，他出版了《英国的海岸线有多长？统计自相似性和分维数”，显示海岸线的长度随测量仪器的规模而变化，在所有规模上都与仪器相似，而且对于一个极小的测量装置来说，长度是无限的。<ref>{{cite journal |last=Mandelbrot |first=Benoît |title=How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension |journal=Science |volume=156 |issue=3775 |pages=636–8 |date=5 May 1967 |doi=10.1126/science.156.3775.636 |pmid=17837158 |bibcode = 1967Sci...156..636M }}</ref>他认为，从远处(0维)看，一个线球似乎是一个点，从相当接近(3维)看，一个球，或一个曲线(一维) ，他认为，一个物体的尺寸是相对于观察者，可能是分数。如果一个物体的不规则性在不同尺度上是常数(“自相似”) ，那么这个物体就是一个分形(例如门格尔海绵 the Menger sponge、赛尔皮滑雪垫圈 the Sierpiński gasket和科氏曲线或雪花 Koch curve or snowflake，它们是无限长的，但覆盖着一个有限的空间，分形维数约为1.2619)。1982年，Mandelbrot发表了《自然的分形几何》 ，成为混沌理论的经典之作。<ref>{{cite book|author=Mandelbrot, B.|title=The Fractal Geometry of Nature|date=1982|place=New York|publisher=Macmillan|isbn=978-0716711865|url=https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno}}</ref>生物学系统，如循环系统和支气管系统的分支证明符合一个分形模型。<ref>{{cite book |last1=Buldyrev |first1=S.V. |last2=Goldberger |first2=A.L. | last3=Havlin |first3=S.|last4=Peng |first4=C.K. | last5=Stanley | first5=H.E. |editor1-first=Armin |editor1-last=Bunde  |editor2-first=Shlomo | editor2-last=Havlin | editor2-link=Shlomo Havlin |title=Fractals in Science |publisher=Springer |year=1994 |pages=49–89 |chapter=Fractals in Biology and Medicine: From DNA to the Heartbeat |isbn=978-3-540-56220-7}}</ref>

1986年，纽约科学院与国家心理健康研究所和海军研究办公室共同组织了第一次关于生物学和医学中的混沌的重要会议。在那里，贝尔纳多·休伯曼 Bernardo Huberman提出了一个精神分裂症患者眼球追踪障碍的数学模型。<ref>{{cite journal |authorlink=Bernardo Huberman |author=Huberman, B.A. |title=A Model for Dysfunctions in Smooth Pursuit Eye Movement |journal=Annals of the New York Academy of Sciences |volume=504 Perspectives in Biological Dynamics and Theoretical Medicine |issue=1 |pages=260–273 |date=July 1987 |doi=10.1111/j.1749-6632.1987.tb48737.x |pmid=3477120 |bibcode = 1987NYASA.504..260H }}</ref>这导致了生理学的更新在20世纪80年代通过应用混沌理论，例如，在病理心脏周期的研究。

1986年，纽约科学院与国家心理健康研究所和海军研究办公室共同组织了第一次关于生物学和医学中的混沌的重要会议。在那里，贝尔纳多·休伯曼 Bernardo Huberman提出了一个精神分裂症患者眼球追踪障碍的数学模型。<ref>{{cite journal |author=Huberman, B.A. |title=A Model for Dysfunctions in Smooth Pursuit Eye Movement |journal=Annals of the New York Academy of Sciences |volume=504 Perspectives in Biological Dynamics and Theoretical Medicine |issue=1 |pages=260–273 |date=July 1987 |doi=10.1111/j.1749-6632.1987.tb48737.x |pmid=3477120 |bibcode = 1987NYASA.504..260H }}</ref>这导致了生理学的更新在20世纪80年代通过应用混沌理论，例如，在病理心脏周期的研究。

通过混沌理论的应用也可以改进经济模型，但是预测一个经济系统的健康状况以及什么因素对其影响最大是一个极其复杂的任务。<ref>{{cite journal|last=Juárez|first=Fernando|title=Applying the theory of chaos and a complex model of health to establish relations among financial indicators|journal=Procedia Computer Science|year=2011|volume=3|pages=982–986|doi=10.1016/j.procs.2010.12.161|bibcode=2010ProCS...1.1119G|arxiv=1005.5384}}</ref>经济和金融系统与古典自然科学中的系统有着根本的不同，因为前者本质上是随机的，因为它们来自于人们之间的相互作用，因此纯粹的确定性模型不可能提供准确的数据表示。检验经济学和金融学中混沌的实证文献呈现出非常复杂的结果，部分原因是混沌的具体检验与非线性关系的更一般检验之间的混淆。<ref>{{cite journal |last=Brooks |first=Chris |authorlink=Chris Brooks (academic)|title=Chaos in foreign exchange markets: a sceptical view |journal=Computational Economics|year=1998 |volume=11 |issue=3 |pages=265–281 |issn=1572-9974 |doi=10.1023/A:1008650024944|url=http://centaur.reading.ac.uk/35988/1/35988.pdf }}</ref>

通过混沌理论的应用也可以改进经济模型，但是预测一个经济系统的健康状况以及什么因素对其影响最大是一个极其复杂的任务。<ref>{{cite journal|last=Juárez|first=Fernando|title=Applying the theory of chaos and a complex model of health to establish relations among financial indicators|journal=Procedia Computer Science|year=2011|volume=3|pages=982–986|doi=10.1016/j.procs.2010.12.161|bibcode=2010ProCS...1.1119G|arxiv=1005.5384}}</ref>经济和金融系统与古典自然科学中的系统有着根本的不同，因为前者本质上是随机的，因为它们来自于人们之间的相互作用，因此纯粹的确定性模型不可能提供准确的数据表示。检验经济学和金融学中混沌的实证文献呈现出非常复杂的结果，部分原因是混沌的具体检验与非线性关系的更一般检验之间的混淆。<ref>{{cite journal |last=Brooks |first=Chris|title=Chaos in foreign exchange markets: a sceptical view |journal=Computational Economics|year=1998 |volume=11 |issue=3 |pages=265–281 |issn=1572-9974 |doi=10.1023/A:1008650024944|url=http://centaur.reading.ac.uk/35988/1/35988.pdf }}</ref>