更改

== 背景和历史 ==

== 背景和历史 ==

网络研究作为分析复杂关系型数据的一种手段，在不同的学科中都有出现。在这个领域已知最早的论文是1736年[[欧拉 Leonhard Euler]]所写的著名的《哥尼斯堡的七座桥 ''Seven Bridges of Königsberg''》。欧拉对顶点和边的数学描述是[[图论]]的基础，图论是研究网络结构中的成对关系属性的数学分支。图论的领域不断发展，并在化学中得到应用。

网络研究作为分析复杂关系型数据的一种手段，在不同的学科中都有出现。在这个领域已知最早的论文是1736年[[欧拉 Leonhard Euler]]所写的著名的《哥尼斯堡的七座桥》 ''Seven Bridges of Königsberg''。欧拉对顶点和边的数学描述是[[图论]]的基础，图论是研究网络结构中的成对关系属性的数学分支。图论的领域不断发展，并在化学中得到应用。

匈牙利数学家兼教授Dénes Kőnig在1936年撰写了第一本[[图论]]专著《有限图与无限图的理论 ''Theory of finite and infinite graphs''》。 <ref>{{cite book|title=Theory of finite and infinite graphs |author=Dénes Kőnig|publisher=Birkhäuser Boston |isbn=978-1-4684-8971-2 |year=1990 |url=https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-1-4684-8971-2_2.pdf|type=PDF |doi=10.1007/978-1-4684-8971-2 }}</ref>

匈牙利数学家兼教授Dénes Kőnig在1936年撰写了第一本[[图论]]专著《有限图与无限图的理论》''Theory of finite and infinite graphs''。 <ref>{{cite book|title=Theory of finite and infinite graphs |author=Dénes Kőnig|publisher=Birkhäuser Boston |isbn=978-1-4684-8971-2 |year=1990 |url=https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-1-4684-8971-2_2.pdf|type=PDF |doi=10.1007/978-1-4684-8971-2 }}</ref>

20世纪90年代，在Paul Erdős和Alfréd Rényi发表了8篇关于[[随机图]]的著名论文之后，网络科学中的概率论 Probabilistic theory作为图论的一个分支发展起来了。对于[[社交网络]] social network来说，指数[随机图模型]]或<math>p*</math>是一个记号框架，用于表示社交网络中发生关系的概率空间。网络概率结构的另一种替代表示方法是网络概率矩阵，它根据网络样本中边的历史信息来计算这条边在网络中出现的概率。

20世纪90年代，在Paul Erdős和Alfréd Rényi发表了8篇关于[随机图]的著名论文之后，网络科学中的概率论 Probabilistic theory作为图论的一个分支发展起来了。对于[[社交网络]] social network来说，指数[随机图模型]或<math>p*</math>是一个记号框架，用于表示社交网络中发生关系的概率空间。网络概率结构的另一种替代表示方法是网络概率矩阵，它根据网络样本中边的历史信息来计算这条边在网络中出现的概率。

最近，其他网络科学的研究致力于用数学的方式描述不同网络的拓扑结构。[[邓肯·瓦茨 Duncan J.Watts]]将网络的经验数据与数学表达相结合，描述了小世界网络。 [[艾伯特-拉斯洛·巴拉巴西 Albert-László Barabási]] 和 [[Reka Albert]]提出了无标度网络，这是一种定义不明确的网络拓扑结构，简单说就是包含Hub中心节点（连边数量很多的节点），且连边的数量和节点数量呈现常数比率的增长方式。尽管许多网络，比如互联网，似乎保持了这样的特性，但是其他网络的节点分布表现出长尾特性，仅仅是接近无标度比例。

最近，其他网络科学的研究致力于用数学的方式描述不同网络的拓扑结构。[[邓肯·瓦茨]] Duncan Watts将网络的经验数据与数学表达相结合，描述了小世界网络。 [[艾伯特-拉斯洛·巴拉巴西 Albert-László Barabási]] 和 [[Reka Albert]]提出了无标度网络，这是一种定义不明确的网络拓扑结构，简单说就是包含Hub中心节点（连边数量很多的节点），且连边的数量和节点数量呈现常数比率的增长方式。尽管许多网络，比如互联网，似乎保持了这样的特性，但是其他网络的节点分布表现出长尾特性，仅仅是接近无标度比例。

正如2004年，David S. Alberts支持Frederick I. Moxley那样，国防部帮助美国陆军一起在美国军事学院(USMA)建立了第一个网络科学中心。在Moxley博士和美国军事学院研究员的指导下，西点军校开设了首个跨学科的网络科学本科生课程。为了更好地在其未来的领导干部中灌输网络科学的原则，美国军事学院还在网络科学下设置了一个5节课的本科生辅修课程。

正如2004年，David S. Alberts支持Frederick I. Moxley那样，国防部帮助美国陆军一起在美国军事学院 USMA建立了第一个网络科学中心。在Moxley博士和美国军事学院(USMA)研究员的指导下，西点军校开设了首个跨学科的网络科学本科生课程。为了更好地在其未来的领导干部中灌输网络科学的原则，美国军事学院还在网络科学下设置了一个5节课的本科生辅修课程。

\frac{\mathbb E [k]}{n-1} u_1^{*n}(n-2),& n>1, \\

\frac{\mathbb E [k]}{n-1} u_1^{*n}(n-2),& n>1, \\

u(0) & n=1.

u(0) & n=1.

\end{cases}</math>其中 <math>u(k)</math> 表示度分布且 <math>u_1(k)=\frac{(k+1)u(k+1)}{\mathbb E[k]}</math>。 通过随机移除临界比例<math>p_c</math>的边，可以摧毁超大连通分量。这个过程叫做 [[渗流理论|随机网络的渗流]]。当度分布的二阶矩是有限的，即<math display="inline">\mathbb E [k^2]<\infty</math> 时，这个边数的临界比例为 <ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2018-01-01|title=Analytic results on the polymerisation random graph model|journal=Journal of Mathematical Chemistry|language=en|volume=56|issue=1|pages=140–157|doi=10.1007/s10910-017-0785-1|issn=0259-9791|doi-access=free}}</ref> <math>p_c=1-\frac{\mathbb E[k]}{ \mathbb E [k^2] - \mathbb E[k]}</math> ，且超大连通分量中顶点与顶点间的平均距离<math>l</math> 的大小和网络的总规模呈对数比例， <math>l = O(\log N) </math>.<ref name=":1" />。

\end{cases}</math>其中 <math>u(k)</math> 表示度分布且 <math>u_1(k)=\frac{(k+1)u(k+1)}{\mathbb E[k]}</math>。 通过随机移除临界比例<math>p_c</math>的边，可以摧毁超大连通分量。这个过程叫做 [[渗流理论|随机网络的渗流]]。当度分布的二阶矩是有限的，即<math display="inline">\mathbb E [k^2]<\infty</math> 时，这个边数的临界比例为 <ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2018-01-01|title=Analytic results on the polymerisation random graph model|journal=Journal of Mathematical Chemistry|language=en|volume=56|issue=1|pages=140–157|doi=10.1007/s10910-017-0785-1|issn=0259-9791|doi-access=free}}</ref> <math>p_c=1-\frac{\mathbb E[k]}{ \mathbb E [k^2] - \mathbb E[k]}</math> ，且超大连通分量中 [[平均路径长度|顶点与顶点间的平均距离]] <math>l</math> 的大小和网络的总规模呈对数比例， <math>l = O(\log N) </math>.<ref name=":1" />。

*入分量: <ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2017-11-02|title=Finite connected components in infinite directed and multiplex networks with arbitrary degree distributions|journal=Physical Review E|volume=96|issue=5|pages=052304|doi=10.1103/PhysRevE.96.052304|pmid=29347790|arxiv=1709.04283|bibcode=2017PhRvE..96e2304K}}</ref><math display="block">h_\text{in}(n)=\frac{\mathbb E[k_{in}]}{n-1} \tilde u_\text{in}^{*n}(n-2),  \;n>1, \; \tilde u_\text{in}=\frac{k_\text{in}+1}{\mathbb E[k_\text{in}]}\sum\limits_{k_\text{out}\geq 0}u(k_\text{in}+1,k_\text{out}) </math>

*入分量: <ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2017-11-02|title=Finite connected components in infinite directed and multiplex networks with arbitrary degree distributions|journal=Physical Review E|volume=96|issue=5|pages=052304|doi=10.1103/PhysRevE.96.052304|pmid=29347790|arxiv=1709.04283|bibcode=2017PhRvE..96e2304K}}</ref><math display="block">h_\text{in}(n)=\frac{\mathbb E[k_{in}]}{n-1} \tilde u_\text{in}^{*n}(n-2),  \;n>1, \; \tilde u_\text{in}=\frac{k_\text{in}+1}{\mathbb E[k_\text{in}]}\sum\limits_{k_\text{out}\geq 0}u(k_\text{in}+1,k_\text{out}) </math>

*出分量: <math>h_\text{out}(n)=\frac{\mathbb E[k_\text{out}]}{n-1} \tilde u_\text{out}^{*n}(n-2),  \;n>1, \;\tilde u_\text{out}=\frac{k_\text{out}+1}{\mathbb E[k_\text{out}]}\sum\limits_{k_\text{in}\geq0}u(k_\text{in},k_\text{out}+1).</math>

*出分量: <math>h_\text{out}(n)=\frac{\mathbb E[k_\text{out}]}{n-1} \tilde u_\text{out}^{*n}(n-2),  \;n>1, \;\tilde u_\text{out}=\frac{k_\text{out}+1}{\mathbb E[k_\text{out}]}\sum\limits_{k_\text{in}\geq0}u(k_\text{in},k_\text{out}+1).</math>

=== Watts–Strogatz 小世界模型 ===

=== Watts–Strogatz 小世界模型 ===

当包括Erdős Rényi随机图模型和一些小世界网络在内的许多模型的直径D正比于log N时，BA模型表现为D~loglogN（超小世界）。<ref>{{cite journal|last=Cohen|first=R. |title=Scale-free networks are ultrasmall|journal=Phys. Rev. Lett.|year=2003|volume=90|pages=058701|url=http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Scale-free+networks+are+ultrasmall&year=*&match=all|doi=10.1103/PhysRevLett.90.058701|pmid=12633404|first2=S.|last2=Havlin|issue=5|bibcode=2003PhRvL..90e8701C |arxiv=cond-mat/0205476}}</ref> 注意，平均路径长度随N的变化和直径相同。

当包括Erdős Rényi随机图模型和一些小世界网络在内的许多模型的直径D正比于<math>log N</math>时，BA模型表现为<math>D~loglogN</math>（超小世界）。<ref>{{cite journal|last=Cohen|first=R. |title=Scale-free networks are ultrasmall|journal=Phys. Rev. Lett.|year=2003|volume=90|pages=058701|url=http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Scale-free+networks+are+ultrasmall&year=*&match=all|doi=10.1103/PhysRevLett.90.058701|pmid=12633404|first2=S.|last2=Havlin|issue=5|bibcode=2003PhRvL..90e8701C |arxiv=cond-mat/0205476}}</ref> 注意，平均路径长度随N的变化和直径相同。

* [[随机网络 Random networks]]

* [[随机网络 Random networks]]

* [https://en.wikipedia.org/wiki/Rumor_spread_in_social_network 谣言在社交网络中的传播]

* [https://en.wikipedia.org/wiki/Rumor_spread_in_social_network 谣言在社交网络中的传播]

* [[无标度网络 Scale-free networks]]

* [https://en.wikipedia.org/wiki/Sequential_dynamical_system 无标度网络 Scale-free networks]

* [https://en.wikipedia.org/wiki/Sequential_dynamical_system 序列动力系统 Sequential dynamical system]

* [https://en.wikipedia.org/wiki/Sequential_dynamical_system 序列动力系统 Sequential dynamical system]

* [https://en.wikipedia.org/wiki/Service_network 服务网络 Service network]

* [https://en.wikipedia.org/wiki/Service_network 服务网络 Service network]

[[File:巴西巴西网络科学.jpg|250px|thumb|right|《巴拉巴西网络科学》封面]]

[[File:巴西巴西网络科学.jpg|250px|thumb|right|《巴拉巴西网络科学》封面]]

*[https://book.douban.com/subject/34970365/  巴西巴西网络科学]

*[https://book.douban.com/subject/25970086/  网络科学引论]

::《巴拉巴西网络科学》列举了很多生活中的案例，深入浅出，全面而系统地绘制出一幅网络科学领域的知识地图。关于网络，你想知道的一切都能在这本书中找到。

::《巴拉巴西网络科学》列举了很多生活中的案例，深入浅出，全面而系统地绘制出一幅网络科学领域的知识地图。关于网络，你想知道的一切都能在这本书中找到。

::全球复杂网络研究权威、“无标度网络”奠基人艾伯特-拉斯洛·巴拉巴西花费5年心血，用丰富的案例和研究成果，结合大量图表和参考文献，将网络科学的专业知识融汇成10大模块，以大众视角讲透网络科学；中国科学院计算技术研究所研究员、网络科学和社会计算专家沈华伟、普林斯顿大学博士后黄俊铭担纲翻译，最大程度还原原著。作为一本专业教材，《巴拉巴西网络科学》是网络科学领域研究者、教师、学生的必备佳作；除此之外，本书文笔流畅、通俗易懂，将网络科学的理论与日常生活联系起来，为普通大众了解当今的互联世界提供了一个通道。

::全球复杂网络研究权威、“无标度网络”奠基人艾伯特-拉斯洛·巴拉巴西花费5年心血，用丰富的案例和研究成果，结合大量图表和参考文献，将网络科学的专业知识融汇成10大模块，以大众视角讲透网络科学；中国科学院计算技术研究所研究员、网络科学和社会计算专家沈华伟、普林斯顿大学博士后黄俊铭担纲翻译，最大程度还原原著。作为一本专业教材，《巴拉巴西网络科学》是网络科学领域研究者、教师、学生的必备佳作；除此之外，本书文笔流畅、通俗易懂，将网络科学的理论与日常生活联系起来，为普通大众了解当今的互联世界提供了一个通道。