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香农-哈特利定理给出了信道容量<math>C</math>的计算方法，表示理论上的信道传输速率的上限可以用信号的平均接受功率<math>S</math>以任意的较低的错误率通过模拟通信信道传输，并且会受到加性高斯白噪声（AWGN）的影响<math>N</math>:
香农-哈特利定理给出了信道容量<math>C</math>的计算方法，表示理论上的信道传输速率的上限可以用信号的平均接受功率<math>S</math>以任意的较低的错误率通过模拟通信信道传输，并且会受到加性高斯白噪声（AWGN）的影响<math>N</math>:
<math>
:<math>
C = B \log_2 \left( 1+\frac{S}{N} \right)
</math>
</math>
1927年，奈奎斯特发现单位时间可通过电报信道发送的独立脉冲数最大只能为该信道带宽的两倍。公式表示如下：
1927年，奈奎斯特发现单位时间可通过电报信道发送的独立脉冲数最大只能为该信道带宽的两倍。公式表示如下：
<math>
:<math>
f_{p} < 2B
f_{p} < 2B
</math>
</math>
哈特利认为，在保证可靠性的条件下，信道中能够传输和接收的可分辨的最大脉冲会受到两个因素的影响和限制，一个为信号振幅的动态范围，另一个为接收机能够分辨的振幅电平的精度。具体来说，如果发射信号的振幅大小范围为[-A,+A]伏，接收机的精度为±ΔV伏，那么不同的脉冲的最大值<math>M</math>满足以下公式：
哈特利认为，在保证可靠性的条件下，信道中能够传输和接收的可分辨的最大脉冲会受到两个因素的影响和限制，一个为信号振幅的动态范围，另一个为接收机能够分辨的振幅电平的精度。具体来说，如果发射信号的振幅大小范围为[-A,+A]伏，接收机的精度为±ΔV伏，那么不同的脉冲的最大值<math>M</math>满足以下公式：
<math>
:<math>
M = 1 + \frac{A}{\bigtriangleup V}
M = 1 + \frac{A}{\bigtriangleup V}
</math>
</math>
然后可以根据一下公式计算出先速率R的值：
然后可以根据一下公式计算出先速率R的值：
<math>
:<math>
R = f_{p}\log _{2}{M}
R = f_{p}\log _{2}{M}
</math>
</math>
哈特利定律有时候被用来描述两种比例关系，一是以赫兹为单位的模拟带宽B<ref>{{cite book | title = Introduction to Telecommunications | edition = 2nd| author = Anu A. Gokhale | publisher = Thomson Delmar Learning | year = 2004 | isbn = 1-4018-5648-9 | url = https://books.google.com/books?id=QowmxWAOEtYC&pg=PA37&dq=%22hartley%27s+law%22+proportional }}</ref>，二是以比特/s为单位的数字带宽。哈特利定律还被用来计算线速率R的取值范围<ref>{{cite book | title = Telecommunications Engineering | author = John Dunlop and D. Geoffrey Smith | publisher = CRC Press | year = 1998 | url = https://books.google.com/books?id=-kyPyn3Dst8C&pg=RA4-PA30&dq=%22hartley%27s+law%22 | isbn = 0-7487-4044-9 }}</ref>：
哈特利定律有时候被用来描述两种比例关系，一是以赫兹为单位的模拟带宽B<ref>{{cite book | title = Introduction to Telecommunications | edition = 2nd| author = Anu A. Gokhale | publisher = Thomson Delmar Learning | year = 2004 | isbn = 1-4018-5648-9 | url = https://books.google.com/books?id=QowmxWAOEtYC&pg=PA37&dq=%22hartley%27s+law%22+proportional }}</ref>，二是以比特/s为单位的数字带宽。哈特利定律还被用来计算线速率R的取值范围<ref>{{cite book | title = Telecommunications Engineering | author = John Dunlop and D. Geoffrey Smith | publisher = CRC Press | year = 1998 | url = https://books.google.com/books?id=-kyPyn3Dst8C&pg=RA4-PA30&dq=%22hartley%27s+law%22 | isbn = 0-7487-4044-9 }}</ref>：
<math>
:<math>
R \leq 2B\log _{2}{M}
R \leq 2B\log _{2}{M}
</math>
</math>
香农定理展示了怎样通过对通道进行统计学描述去计算通道容量，并且证明了在一个有容量<math>C</math>的噪声信道中，信息以一个线速率<math>R</math>传输时，有：
香农定理展示了怎样通过对通道进行统计学描述去计算通道容量，并且证明了在一个有容量<math>C</math>的噪声信道中，信息以一个线速率<math>R</math>传输时，有：
<math>
:<math>
R < C
R < C
</math>
</math>
上面的不等式反过来同样重要：
上面的不等式反过来同样重要：
<math>
:<math>
C < R
C < R
</math>
</math>
| publisher = Courier Dover Publications | year = 1980 | isbn = 0-486-24061-4 }}</ref>：
| publisher = Courier Dover Publications | year = 1980 | isbn = 0-486-24061-4 }}</ref>：
<math>2B2B\log _{2}{M} = B2B\log _{2}{(1+ \frac{S}{N})} </math>
:<math>2B2B\log _{2}{M} = B2B\log _{2}{(1+ \frac{S}{N})} </math>
<math>M = \sqrt{1 + \frac{S}{N}} </math>
:<math>M = \sqrt{1 + \frac{S}{N}} </math>
平方根有效地将功率比转换回电压比，因此电平数大约与信号RMS幅度与噪声标准偏差之比成正比。
平方根有效地将功率比转换回电压比，因此电平数大约与信号RMS幅度与噪声标准偏差之比成正比。
在上面的简单版本中，信号和噪声是完全不相关的，在这种情况下<math>S + N</math>是接收信号和噪声的总功率。对于加性噪声不是白噪声的情况（或<math> S / N</math>在整个带宽上频率不恒定）是通过将信道视为平行的许多窄的独立高斯信道来获得的：
在上面的简单版本中，信号和噪声是完全不相关的，在这种情况下<math>S + N</math>是接收信号和噪声的总功率。对于加性噪声不是白噪声的情况（或<math> S / N</math>在整个带宽上频率不恒定）是通过将信道视为平行的许多窄的独立高斯信道来获得的：
<math>C = \int_{0}^{B}log_{2}{(1 + \frac{S(f)}{N(f)})}df</math>
:<math>C = \int_{0}^{B}log_{2}{(1 + \frac{S(f)}{N(f)})}df</math>
其中
其中
当SNR较大时(S/N>1)，对数近似为
当SNR较大时(S/N>1)，对数近似为
<math>log_{2}{(1 + \frac{S}{N})} \approx log_2{\frac{S}{N}} = \frac{ln10}{ln2}\cdot log_{10}{\frac{S}{N}} \approx 3.32\cdot log_{10}{\frac{S}{N}}</math>
:<math>log_{2}{(1 + \frac{S}{N})} \approx log_2{\frac{S}{N}} = \frac{ln10}{ln2}\cdot log_{10}{\frac{S}{N}} \approx 3.32\cdot log_{10}{\frac{S}{N}}</math>
此情况下，信道容量在功率上取对数，而在带宽上是近似线性的（N还会随着带宽的增加而增加，从而产生对数效应，所以是近似线性）。称为有限带宽机制。
此情况下，信道容量在功率上取对数，而在带宽上是近似线性的（N还会随着带宽的增加而增加，从而产生对数效应，所以是近似线性）。称为有限带宽机制。
<math>C \approx 3.32\cdot B \cdot SNR(in dB)</math>
:<math>C \approx 3.32\cdot B \cdot SNR(in dB)</math>
其中
其中
<math>SNR(in dB) = 10 log_{10}{\frac{S}{N}}</math>
:<math>SNR(in dB) = 10 log_{10}{\frac{S}{N}}</math>
===有限功率===
===有限功率===
类似地，当SNR较小时（S/N << 1），则可以使用对数的近似值：
类似地，当SNR较小时（S/N << 1），则可以使用对数的近似值：
<math>log_{2}{(1 + \frac{S}{N})} = \frac{1}{ln2} \cdot ln(1 + \frac{S}{N}) \approx \frac{1}{ln2} \cdot \frac{S}{N} \approx 1.44 \cdot \frac{S}{N} </math>
:<math>log_{2}{(1 + \frac{S}{N})} = \frac{1}{ln2} \cdot ln(1 + \frac{S}{N}) \approx \frac{1}{ln2} \cdot \frac{S}{N} \approx 1.44 \cdot \frac{S}{N} </math>
此时信道容量是线性变化的。称为有限功率机制
此时信道容量是线性变化的。称为有限功率机制
<math>C \approx 1.44\cdot B \cdot \frac{S}{N}</math>
:<math>C \approx 1.44\cdot B \cdot \frac{S}{N}</math>
这种低SNR近似值时，如果噪声为白噪声，则容量与带宽无关，且频谱密度较高。谱密度为<math>N_{0}</math>的时候，总的噪声功率为<math>N = B \cdot N_{0}</math>。
这种低SNR近似值时，如果噪声为白噪声，则容量与带宽无关，且频谱密度较高。谱密度为<math>N_{0}</math>的时候，总的噪声功率为<math>N = B \cdot N_{0}</math>。
<math>C \approx 1.44 \cdot \frac{S}{N}</math>
:<math>C \approx 1.44 \cdot \frac{S}{N}</math>
==相关阅读==
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