谱定理

在线性代数和泛函分析中，谱定理是一个关于线性算子或矩阵何时可以对角化（即在某个基下可以表示为对角矩阵）的重要结果。这个定理极其实用，因为涉及可对角化矩阵的计算往往可以简化为对相应对角矩阵的简单计算。对角化的概念在有限维向量空间上的算子来说相对直观，但对于无限维空间上的算子则需要一些修正。总的来说，谱定理识别出了一类可以用乘法算子来建模的线性算子，这种算子是我们所能期望的最简单的形式。用更抽象的语言来说，谱定理是关于交换C*-代数的一个陈述。从历史角度来看，这一理论的发展过程可参见谱论。

谱定理适用的算子包括希尔伯特空间上的自伴算子，更一般地，还包括正规算子。

谱定理还为算子作用的底层向量空间提供了一个标准分解，我们称之为谱分解。

奥古斯丁-路易·柯西证明了对称矩阵的谱定理，即证明了每个实对称矩阵都是可对角化的。此外，柯西还是第一个系统研究行列式的数学家。冯·诺伊曼后来推广的谱定理，如今已经成为算子论中最重要的结果之一。

本文主要关注最简单形式的谱定理，即希尔伯特空间上自伴算子的谱定理。不过如前所述，谱定理对希尔伯特空间上的正规算子同样成立。