Schatten范数

在数学中，特别是在泛函分析领域，沙滕范数（也称为沙滕-冯诺伊曼范数）是对p-可积性的推广，这种推广与迹类范数和希尔伯特-施密特范数有着密切联系。

设[math]\displaystyle{ H_{1} }[/math]和[math]\displaystyle{ H_{2} }[/math]是希尔伯特空间，[math]\displaystyle{ T }[/math]是从[math]\displaystyle{ H_{1} }[/math]到[math]\displaystyle{ H_{2} }[/math]的（线性）有界算子。对于[math]\displaystyle{ p\in [1,\infty) }[/math]，我们可以定义算子[math]\displaystyle{ T }[/math]的沙滕p-范数为：

[math]\displaystyle{ |T|_{p}=[\operatorname{Tr}(|T|^{p})]^{1/p}, }[/math]

其中[math]\displaystyle{ |T|:={\sqrt{(T^{*}T)}} }[/math]是由算子平方根定义的。

当[math]\displaystyle{ T }[/math]是紧算子，且[math]\displaystyle{ H_{1},,H_{2} }[/math]是可分的情况下，沙滕p-范数还可以用另一种等价形式表示：

[math]\displaystyle{ |T|{p}:={\bigg (}\sum{n\geq 1}s_{n}^{p}(T){\bigg )}^{1/p} }[/math]

这里[math]\displaystyle{ s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq \cdots \geq s_{n}(T)\geq \cdots \geq 0 }[/math]是[math]\displaystyle{ T }[/math]的奇异值序列，即厄米特算子[math]\displaystyle{ |T|:={\sqrt{(T^{*}T)}} }[/math]的特征值序列。