双曲几何图

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一个双曲几何图（HGG）或者说双曲线几何网络（HGN）是一种特殊的 空间网络其中的节点依照概率密度函数分布在恒定的负曲率双曲空间上，并且节点间的边 依照度量函数把距离近的呈现在一起(典型的例子是，单位阶跃函数导致的顶点间的距离小于特定阈值，再比如，产生连续概率的双曲线距离衰减函数), 一个 HGG 泛化了一个嵌入欧氏空间的[随机几何图形]] (RGG)。

数学公式

数学上，HGG 是一个图 [math]\displaystyle{ G(V,E) }[/math]，该图由一个顶点集合V （集合的势 [math]\displaystyle{ N=|V| }[/math]）和边集合E 节点构成。边节点被视作有恒定负高斯曲率[math]\displaystyle{ -\zeta^2 }[/math] 以及截止半径为 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的二维双曲空间 [math]\displaystyle{ \mathbb{H}^2_{\zeta} }[/math] 上的点,例如可以使用双曲模型可视化庞加莱圆盘的半径。每一个点 [math]\displaystyle{ i }[/math] 都有双曲线极坐标 ([math]\displaystyle{ r_i,\theta_i }[/math]) 其中 [math]\displaystyle{ 0\leq r_i\leq R }[/math] 并且[math]\displaystyle{ 0\leq \theta_i \lt 2\pi }[/math]。

余弦双曲线法则允许测量[math]\displaystyle{ i }[/math]和[math]\displaystyle{ {j} }[/math]两点之间的距离 [math]\displaystyle{ d_{ij} }[/math] ,

[math]\displaystyle{ {\cosh}(\zeta d_{ij})={\cosh}(\zeta r_i){\cosh}(\zeta r_j)-\sinh(\zeta r_i)\sinh(\zeta r_j)\cos\bigg(\underbrace{\pi\!-\!\bigg|\pi-|\theta_i\!-\!\theta_j|\bigg|}_{\Delta}\bigg). }[/math]

角度 [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] 两个位置矢量之间的（最小）角度。

在最简单的情况下，边 [math]\displaystyle{ (i,j) }[/math] 能够建立当且仅当 两个节点在某个邻域半径 [math]\displaystyle{ r }[/math] 中, [math]\displaystyle{ d_{ij}{\leq} r }[/math] 这对应着起作用的阈值。

连通衰减函数

通常，将根据距离 [math]\displaystyle{ d_{ij} }[/math] 依概率建立链接。 连通衰减函数 [math]\displaystyle{ \gamma(s): \mathbb{R}^+\to[0,1] }[/math] 表示在距离为的地方 [math]\displaystyle{ s }[/math] 为一对节点连通边的概率。

在这个框架中，类似于随机几何图中的硬编码邻域的简单情形被称为截断衰减函数。

研究发现

For [math]\displaystyle{ \zeta{=}1 }[/math] （高斯曲率 [math]\displaystyle{ K=-1 }[/math]），HGG 形成了一个在约束条件下，可能能够展示大量节点度分布和解析解的网络 这是值得注意的一点，因为对于许多用图表示的网络而言并非如此。

应用

因为通过个体的相似度和流行度之间的抗衡表现出了双曲性，HGG 被认为是极具希望的社交网络模型。