Legendre变换

定义两个函数f(x)和g(y)，我们说这两个函数构成Legrendre（勒让德）变换对，就是要求它们满足：

[math]\displaystyle{ f(x)=\inf_y(xy-g(y)) }[/math]

事实上，如果f(x)和g(y)满足上述定义，我们必然能够推出反关系也成立：

[math]\displaystyle{ g(y)=\inf_x (xy-f(x)) }[/math]

下面给出一个简略粗糙的说明：

事实上，既然要求xy-g(y)的最小，我们便可将该等式对y求导，令其等于0，我们得到：

[math]\displaystyle{ g'(y^*)=x }[/math]

其中，y*就是使得xy-g(y)达到最小的那个y值。不停地变化x，就会得到一个y*关于x的函数y*(x)。我们将这个y*代回去有：

[math]\displaystyle{ f(x)=y^*(x) x -g(y^*(x)) }[/math]

两边对x求导数，并注意到g'(y*(x))=x这个事实，就得到：

[math]\displaystyle{ f'(x)=y^*{'}(x) x+y^*(x)-g'(y^*(x)) y^*{'}(x)=y^*{'}(x) x+y^*(x)-x y^*{'}(x)=y^*(x) }[/math]

我们再将y*(x)看作是一个新的自变量y，而把x看作是因变量x(y)，根据[math]\displaystyle{ f(x)=y^*(x) x -g(y^*(x)) }[/math]就能得到：

[math]\displaystyle{ g(y)=x(y) f'(x(y))-f(x(y)) }[/math]

我们把x(y)又可以看作是满足方程[math]\displaystyle{ y=f'(x) }[/math]的解，这样，上面的等式又可以看作是如下极小值的表达式：

[math]\displaystyle{ g(y)=\inf_{x}(x y-f(x)) }[/math]

由此得证。

全微分与Legendre变换

设f(x,y)，则它的全微分：

[math]\displaystyle{ df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=pdx+zdy }[/math]

如果我们将自变量x替换成独立的自变量p，则根据：

[math]\displaystyle{ dxp=pdx+xdp }[/math]

有：

[math]\displaystyle{ d(f-xp)=xdp+zdy }[/math]

令[math]\displaystyle{ g(p,y)=f(x,y)-xp }[/math]，则f和g构成了Legendre变换对。这是因为：对于任意的p，必须满足

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=p }[/math]

所以：

[math]\displaystyle{ 0=p-\frac{\partial f}{\partial x}=\partial{(xp-f(x,y))}/\partial{x} }[/math]

我们又知道g(p,y)=xp-f(x,y) 故而，xp-f(x,y)对x取极值，而这个极值就是g(p,y)，即：

[math]\displaystyle{ g(p,y)=\inf_x (xp-f(x,y)) }[/math]

这是热力学中通常使用的形式。其实如果f(x)是一元函数，也可以找到Legendre变换对，例如f(x)=cx，则它的Legendre变换对为：g(y)=cy/4