李雅普诺夫函数

在常微分方程理论中，李雅普诺夫函数 Lyapunov functions是可用来证明常微分方程平衡点 equilibrium point稳定性的标量函数 scalar function。李雅普诺夫函数是以俄罗斯数学家亚历山大·李亚普诺夫 Aleksandr Lyapunov的名字命名，也称为稳定性的李雅普诺夫第二方法。对于动态系统 dynamical system的稳定性理论 stability theory和控制论 control theory十分重要。在一般状态空间马尔可夫链 Markov chains理论中也出现了类似的概念，通常称为Foster-Lyapunov 函数。

对于某些类型的常微分方程，李雅普诺夫函数的存在性是其稳定性的充要条件。尽管对于常微分方程没有构造李雅普诺夫函数的一般方法，但在许多特定情况下，李雅普诺夫函数的构造是已知的。例如，二次函数满足一个状态的系统的李雅普诺夫函数；一个特定线性矩阵不等式的解为线性系统提供了李雅普诺夫函数；守恒律 Conservation law通常可以用来构造物理系统的李雅普诺夫函数。

李雅普诺夫函数的定义

对于一个自治动力系统

[math]\displaystyle{ \begin{cases} g : \R ^n \to \R ^n \\ \dot{y} = g(y) \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ y=0 }[/math] 是它的一个平衡点，其李雅普诺夫函数是一个标量函数：[math]\displaystyle{ V:\R^n\to\R }[/math]，该函数连续、具有连续的一阶导数且局部正定，[math]\displaystyle{ -\nabla{V}\cdot g }[/math]也是局部正定的。有时把 [math]\displaystyle{ -\nabla{V}\cdot g }[/math] 局部正定的条件表述为 [math]\displaystyle{ \nabla{V}\cdot g }[/math] 是局部负定的。

自治系统的基本李雅普诺夫定理 Basic Lyapunov theorems for autonomous systems

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令[math]\displaystyle{ x^* = 0 }[/math]是如下自治系统的平衡点

[math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x) }[/math]

并使用[math]\displaystyle{ \dot{V}(x) }[/math]表示李雅普诺夫候选函数 Lyapunov-candidate-function[math]\displaystyle{ V }[/math]的时间导数:

[math]\displaystyle{ \dot{V}(x) = \frac{d}{dt} V(x(t)) = \frac{\partial V}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt} = \nabla V \cdot \dot{x} = \nabla V\cdot f(x) }[/math]

局部渐进稳定平衡点 Locally asymptotically stable equilibrium

如果平衡点是孤立的，李雅普诺夫候选函数[math]\displaystyle{ V }[/math]是局部正定的，其时间导数是局部负定的：

[math]\displaystyle{ \dot{V}(x) \lt 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\} }[/math]

对于原点的某些邻域[math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math]，可以证明平衡点是局部渐近稳定的。

稳定平衡点 Stable equilibrium

如果[math]\displaystyle{ V }[/math]是李雅普诺夫函数，那么平衡点是李雅普诺夫稳定的。

反之亦然，J. L. Massera证明了这一点。

全局渐进稳定平衡点 Globally asymptotically stable equilibrium

如果李雅普诺夫候选函数[math]\displaystyle{ V }[/math] 是全局正定、径向无界的，平衡点是孤立的，且李雅普诺夫候选函数的时间导数是全局负定的：

[math]\displaystyle{ \dot{V}(x) \lt 0 \quad \forall x \in \R ^n\setminus\{0\}， }[/math]

可以证明平衡点是全局渐近稳定的。

如果满足：

[math]\displaystyle{ \| x \| \to \infty \Rightarrow V(x) \to \infty. }[/math]

李雅普诺夫候选函数[math]\displaystyle{ V(x) }[/math]是径向无界的。(这也被称为范数强制。)

例子

考虑下面具有[math]\displaystyle{ \R }[/math]上的解[math]\displaystyle{ x }[/math]的微分方程：

[math]\displaystyle{ \dot x = -x. }[/math]

Considering that [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] is always positive around the origin it is a natural candidate to be a Lyapunov function to help us study [math]\displaystyle{ x }[/math].

考虑到[math]\displaystyle{ x^2 }[/math]在原点附近始终为正，因此自然而然地成为帮助我们研究[math]\displaystyle{ x }[/math]的李雅普诺夫候选函数。

令[math]\displaystyle{ V(x)=x^2 }[/math]在[math]\displaystyle{ \R }[/math]上。然后有

[math]\displaystyle{ \dot V(x) = V'(x) \dot x = 2x\cdot (-x) = -2x^2\lt 0. }[/math]

这正表明上面的微分方程 [math]\displaystyle{ x }[/math]关于原点是渐近稳定的。注意，使用相同的李雅普诺夫候选函数可以证明该平衡点也是全局渐近稳定的。