在数学中，特别是在迭代函数和动力系统的研究领域中，函数的周期点是系统在一定次数的函数迭代或一定时间后返回的点。这里的迭代次数叫做周期。周期为1的周期点被称为不动点。
迭代函数
给定一个从集合[math]\displaystyle{ X }[/math]到自身的映射[math]\displaystyle{ f }[/math],
[math]\displaystyle{ f: X \to X, }[/math]
[math]\displaystyle{ X }[/math]中的点[math]\displaystyle{ x }[/math]称为周期点，如果存在一个[math]\displaystyle{ n }[/math]使
[math]\displaystyle{ \ f_n(x) = x }[/math]
其中[math]\displaystyle{ f_n }[/math]为[math]\displaystyle{ f }[/math]的第[math]\displaystyle{ n }[/math]次迭代。满足上述条件的最小正整数[math]\displaystyle{ n }[/math]称为点[math]\displaystyle{ x }[/math]的素数周期prime period或最小周期。如果[math]\displaystyle{ X }[/math]中的每一个点都是周期为[math]\displaystyle{ n }[/math]的周期点，那么[math]\displaystyle{ f }[/math]有周期性，周期为[math]\displaystyle{ n }[/math](这不能和周期函数的概念混淆)。
如果存在不同的[math]\displaystyle{ n }[/math]和[math]\displaystyle{ m }[/math]使:[math]\displaystyle{ f_n(x) = f_m(x) }[/math]
那么[math]\displaystyle{ x }[/math]称为前周期点 preperiodic point。所有周期点都是前周期点。
如果[math]\displaystyle{ x }[/math]是微分流形的微分同胚，则定义了导数[math]\displaystyle{ f_n^\prime }[/math]，如果:[math]\displaystyle{ |f_n^\prime|\ne 1, }[/math]，那么[math]\displaystyle{ f }[/math]是双曲周期点；
如果:[math]\displaystyle{ |f_n^\prime|\lt 1, }[/math]，则称周期点[math]\displaystyle{ f }[/math]为吸引子；
如果:[math]\displaystyle{ |f_n^\prime|\gt 1. }[/math]，则称周期点[math]\displaystyle{ f }[/math]为排斥子。
如果周期点或不动点的稳定流形的维数为零，则称其为源点；如果不稳定流形的维数为零，则称其为汇点；如果稳定流形和不稳定流形都有非零维数，则称其为鞍点。
示例
周期为1的点也叫做不动点。
逻辑斯谛克映射函数表达式：
- [math]\displaystyle{ x_{t+1}=rx_t(1-x_t), \qquad 0 \leq x_t \leq 1, \qquad 0 \leq r \leq 4 }[/math]
参数[math]\displaystyle{ r }[/math]随着取值的不同，呈现周期性。
- 对于介于0到1之间的[math]\displaystyle{ r }[/math]，0是唯一的周期点，周期为1（给出了吸引所有轨道的序列0,0,0，... ）;
- 对于介于1到3之间的[math]\displaystyle{ r }[/math]，值0仍然是周期性的，但不是吸引点，而该值是周期1的吸引周期点;
- 当[math]\displaystyle{ r }[/math]大于3但小于1+时，存在一对周期2的点，它们共同构成一个吸引序列，非吸引周期1点为0;
- 当参数[math]\displaystyle{ r }[/math]的值上升到4时，会出现周期为正的一组周期点；
- 对于[math]\displaystyle{ r }[/math]的某些值，这些重复序列中的一个被吸引，而对于其他值，则没有一个被吸引(几乎所有的轨道都是混乱的)。
动力系统
给定一个连续时间的动力系统[math]\displaystyle{ (R，X，Φ) }[/math]，其中[math]\displaystyle{ X }[/math]为相空间，[math]\displaystyle{ Φ }[/math]为状态转移函数，
[math]\displaystyle{ \Phi: \mathbb{R} \times X \to X }[/math]
如果存在 [math]\displaystyle{ t \gt =0 }[/math]，则[math]\displaystyle{ X }[/math]中的点[math]\displaystyle{ x }[/math]称为周期为[math]\displaystyle{ t }[/math]的周期。使得：
[math]\displaystyle{ \Phi(t, x) = x\, }[/math]
具有此性质的最小正数[math]\displaystyle{ t }[/math]称为点[math]\displaystyle{ x }[/math]的最小周期。
性质
- 给定一个周期为[math]\displaystyle{ “p” }[/math]的周期点[math]\displaystyle{ “x” }[/math]，则对于[math]\displaystyle{ t∈R }[/math]，[math]\displaystyle{ \Phi(t,x) = \Phi(t+p,x) }[/math]
- 给定周期点“x”，则在轨道 [math]\displaystyle{ \gamma_x }[/math]上的所有点都具有相同的素数周期prime period。
请参见
- 极限环Limit cycle
- 极限集合Limit set
- 稳定集 Stable set
- Sharkovsky定理Sharkovsky's theorem
- 驻点 Stationary point
- 复杂二次映射的周期点Periodic points of complex quadratic mappings
参考文献
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