库尔特·哥德尔 Kurt Gödel

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库尔特·哥德尔
类别 信息
姓名： 库尔特·哥德尔 Kurt Gödel
出生日期： 1906年4月28日
出生地： 布鲁恩，Austria-Hungary
死亡地： 普林斯顿，新泽西州，美国。
母校： 维也纳大学
所在机构： 高等研究院
主要研究方向： 数学，数理逻辑，分析哲学，物理
成就： 哥德尔不完备性定理，哥德尔完备性定理，哥德尔可构造宇宙，哥德尔度量封闭类时曲线，哥德尔逻辑，哥德尔达米特逻辑，哥德尔的β函数，哥德尔编号，哥德尔运算，哥德尔加速定理，哥德尔逻辑证明理论， 连续统假设与 ZFC ，构造性公理的一致性，冷凝引理， 方言解释，弹弓论点
博士生导师： Hans Hahn
获得荣誉：
  • 阿尔伯特爱因斯坦奖（1951年）
  • 美国国家科学奖章（1974年）
  • 英国皇家学会会员〔1968〕[1]

库尔特·弗里德里希·哥德尔 Kurt Friedrich Gödel（1906年4月28日至1978年1月14日）是一位逻辑学家、数学家和分析哲学家。与亚里士多德 Aristotle和哥特洛布·弗雷格 Gottlob Frege一起被认为是历史上最重要的逻辑学家之一。当时其他人，如伯特兰·罗素 Bertrand Russell、[2]阿尔弗雷德·诺斯·怀特黑德 Alfred North Whitehead[2] 和大卫·希尔伯特 David Hilbert都在分析逻辑和集合论的使用，以理解乔治·坎托 Georg Cantor开创的数学基础。


1931年，25岁的哥德尔在[[维也纳大学]完成博士学位一年后，发表了两篇不完全性定理。第一个不完全性定理指出，对于任何强大到足以描述自然数的算术的自洽递归公理系统，都存在无法从公理证明的关于自然数的真实命题。为了证明这个定理，哥德尔发展了一种技术，现在称为哥德尔编码，它将形式表达式编码为自然数。


哥德尔在12岁时自动成为捷克斯洛伐克公民，因为奥匈帝国在第一次世界大战中失败而垮台。(根据他的同学的说法，像许多德国人占多数的居民一样，“哥德尔认为自己一直是奥地利人，是捷克斯洛伐克的流亡者”。)1929年2月，他被授予捷克斯洛伐克公民身份，并于4月被授予奥地利公民身份。1938年德国吞并奥地利时，哥德尔在32岁时自动成为德国公民。第二次世界大战后(1948年) ，42岁的他成为了美国公民。


他还指出，如若这些公理一致，选择公理和连续性假设都不能从公认的集合论公理中证伪。前一个结果为数学家在证明中假设选择公理打开了大门。他还通过澄清经典逻辑、直觉逻辑和模态逻辑之间的联系，对证明理论作出了重要贡献。


童年

哥德尔于1906年4月28日出生于布吕尼，出生于奥地利-匈牙利（现布尔诺，捷克共和国）的德国家庭，家中有一家纺织厂的经理Rudolf Gödel（1874-1929），Marianne Gödel（1879-1966年）。[3] 在他的一生中，哥德尔始终与母亲保持着亲密的关系；他们的通信往来频繁而广泛。[4] 在他出生的时候，这座城市包括他的父母在内的大多数人讲德语。[5]他的父亲是天主教徒，母亲是新教徒，孩子们都是新教徒。库尔特哥德尔的祖先经常活跃在布吕恩的文化生活中。例如，他的祖父约瑟夫哥德尔是那个时代的著名歌手，并且有几年是布伦男子合唱团联盟的成员。[6]


奥匈帝国在一战中战败，12岁时，哥德尔自动成为了捷克斯洛伐克公民。（根据他的同学的说法，和德国人占主导地位的捷克苏台德区的许多居民一样，“哥德尔一直认为自己是奥地利人，是捷克斯洛伐克的流亡者。”[7]1929年2月，他被授予捷克斯洛伐克国籍，4月获得奥地利国籍。[8] 1938年纳粹德国吞并奥地利时，哥德尔在32岁时自动成为德国公民。第二次世界大战（1948年）之后，42岁的他成为美国公民。[9]


在他的家庭里，年轻的哥德尔因为他贪得无厌的好奇心被称为(“为什么先生”) 。据哥德尔的哥哥鲁道夫说，哥德尔在六七岁的时候得了风湿热，他已经完全康复了，但是在他的余生里，他始终坚信他的心脏受到了永久性的损伤。从四岁开始，哥德尔就患有“频繁发作的健康状况不佳” ，这种状况一直持续到他的一生。[10]


哥德尔于1912年至1916年就读于布伦的Evangelische Volksschule，1916年至1924年在Deutsches Staats-Realgymnasium就读，在所有科目中都表现出色，尤其是在数学、语言和宗教方面。尽管库尔特最初擅长语言，但后来他对历史和数学更感兴趣。1920年，他的哥哥鲁道夫 Rudolf（生于1902年）前往维也纳就读于维也纳大学医学院时，更增加了他对数学的兴趣。库尔特学习了加贝尔伯格的速记，歌德的色彩理论和对艾萨克·牛顿 Isaac Newton的批评，以及伊曼努尔·康德 Immanuel Kant的著作。


在维也纳的学习

18岁时，哥德尔与他的兄弟在维也纳会合，进入维也纳大学学习。到那时，他已经掌握了大学水平的数学。虽然最初打算学习理论物理学，但他也参加了数学和哲学课程。在此期间，他采纳了数学实在论的思想。他阅读康德的著作，并与Moritz Schlick、Hans Hahn和Rudolf Carnap一起加入维也纳学派。然后哥德尔学习了数论，但是当他参加了Moritz Schlick 举办的一个研[11]讨会，研究了Bertrand Russell的书《数学哲学导论 Introduction to Mathematical Philosophy》 ，他开始对数学逻辑感兴趣。根据哥德尔的说法，数理逻辑是“一门先于所有其他科学的科学，它包含了所有科学的基本思想和原则。”


在博洛尼亚参加David Hilbert特关于数学系统的完整性和一致性的讲座，可能为哥德尔的一生奠定了基础。1928年，Hilbert和Wilhelm Ackermann出版了《数理逻辑的原理 Principles of Mathematical Logic》 ，在一阶逻辑的导言中提出了完备性的问题:“ 一个形式系统的公理是否足以推导出所有系统模型中真实的每个命题？”


这个问题成为了哥德尔博士论文的主题。1929年，23岁的他在Hans Hahn 的指导下完成了他的博士论文。在其中，他建立了关于一阶谓词演算的同名完备性定理。他在1930年获得博士学位，他的论文（附带一些额外的工作）由维也纳科学院出版。


职业生涯

不完全性定理

Kurt Gödel's achievement in modern logic is singular and monumental—indeed it is more than a monument, it is a landmark which will remain visible far in space and time. ... The subject of logic has certainly completely changed its nature and possibilities with Gödel's achievement.|John von Neumann[12]

库尔特·哥德尔在现代逻辑方面的成就是独一无二的和具有纪念意义的——事实上它不仅仅是一座纪念碑，它是一座里程碑，它将在遥远的时空中保持可见。。。随着哥德尔的成就，逻辑学的学科无疑已经完全改变了它的性质和可能性。

——John von Neumann

1930年，哥德尔参加了9月5日至7日在柯尼斯堡举行的第二届精确科学认识论会议。在这里，他发表了他的“不完备性定理”。[13]在那篇文章中，他证明了任何强大到足以描述自然数算术的可计算公理系统(例如，Peano 公理或 Zermelo-Fraenkel 集合论与选择公理) : 


If a (logical or axiomatic formal) system is consistent, it cannot be complete.

如果一个(逻辑或公理化的正式)系统是一致的，那么它就不能是完整的。

哥德尔把他的不完全性定理发表在Überformal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme（英文名为“On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems”）。在这篇文章中，他证明了任何强大到足以描述自然数算术的可计算[[公理系统]（例如，皮亚诺公理 Peano axioms或包含选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论 Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice（ZFC） ）：

1. 如果一个（逻辑或公理形式）形式系统是一致性的，它的逻辑就不可能是完整的。

在他1932年的两页论文中，哥德尔反驳了直觉主义逻辑的有限值性。在证明中，他隐含地使用了后来被称为的 哥德尔-达米特中间逻辑 Gödel–Dummett intermediate logic（或哥德尔模糊逻辑）。


2. 公理的一致性不能在它们自己的系统内得到证明。


事后看来，不完全性定理的核心思想相当简单。哥德尔基本上构造了一个公式，证明它在给定的形式系统中是不可证明的。如果这是可以证明的，那就错了。因此，总会有至少一个真实但无法证明的陈述。也就是说，对于任何可计算可枚举的算术公理集（也就是说，一个原则上可以由一台具有无限资源的理想计算机打印出来的集合），都有一个公式是正确的，但在该系统中是不可证明的。然而，为了精确起见，哥德尔需要产生一种方法来编码（作为自然数）语句、证明和可证明性的概念；他使用一种称为哥德尔编码 Gödel numbering来实现这一点。

The consistency of axioms cannot be proved within their own system.

公理的一致性不能在它们自己的体系中得到证明。


这些定理结束了半个世纪的努力，从Frege的工作开始，到Hilbert的形式主义，他们都试图找到一套足以适用于所有数学的公理。


20世纪30年代中期：进一步的工作和美国访问

1932年，哥德尔在获得了学位，1933年，他在那里成为一名无薪讲师。1933年，Adolf Hitler在德国掌权，随后几年，纳粹在奥地利和维也纳的数学家中的影响力不断上升。1936年6月，Moritz Schlick的研讨会引起了哥德尔对逻辑学的兴趣，却被他以前的学生Johann Nelböck暗杀。这对哥德尔引发了“一场严重的神经危机”。引用错误：没有找到与</ref>对应的<ref>标签


1933年，哥德尔第一次来到美国，在那里他遇到了阿尔伯特·爱因斯坦 Albert Einstein，爱因斯坦成了他的好朋友。他在美国数学学会的年会上发表了演讲。在这一年里，哥德尔还发展了可计算性和递归函数的概念，以至于他能够提出一个关于一般递归函数和真理概念的演讲。这项工作是在数论中发展起来的，使用了哥德尔编码 Gödel numbering。


1934年，哥德尔在新泽西州普林斯顿的高级研究所做了一系列演讲，题目是关于正式数学系统的不可判定命题。斯蒂芬·克莱恩 Stephen Kleene刚刚在普林斯顿大学完成了他的博士学位，他记下了这些讲座的笔记，这些讲座随后被出版。


哥德尔在1935年秋天再次参观了国际会计准则。旅行和艰苦的工作使他筋疲力尽，第二年他休息一下，从抑郁症中恢复过来。他于1937年重返教学岗位。在此期间，他致力于证明选择公理和连续统假设公理的一致性; 他继续表明，这些假设不能从集合论公理系统的共同体系中被证伪。


随后，他又去了美国，在1938年秋天在国际会计准则学会上度过，出版了“选择公理和广义连续统假设与集合论公理的一致性”[14]成为现代数学的经典。在那部著作中，他引入了可构造宇宙，这是一个集合论的模型，其中唯一存在的集合是那些可以从更简单的集合中构造出来的集合。哥德尔证明了[[选择公理]和广义连续统假设在可构造的宇宙中都是正确的，因此必须与集合论的Zermelo–Fraenkel公理一致。这个结果对工作的数学家产生了相当大的影响，因为这意味着他们在证明Hahn–Banach定理时可以假设选择公理。Paul Cohen后来构造了ZF的模型]，其中AC和GCH都是假的；这些证明一起意味着AC和GCH独立于集论的ZF公理。


1939年春天，哥德尔在圣母大学度过。[15]


普林斯顿，爱因斯坦，美国公民

1938年 3 月 12 日合并后，奥地利成为纳粹德国的一部分。德国废除了Privatdozent的头衔，因此哥德尔不得不在新的命令下申请一个不同的职位。他以前与维也纳圈的犹太成员，特别是与哈恩的联系，对他不利。维也纳大学拒绝了他的申请。


当德国军队发现他适合征兵时，他的困境加剧了。第二次世界大战于 1939 年 9 月开始。这一年还没有结束，哥德尔和他的妻子离开维也纳前往普林斯顿。为了避免穿越大西洋的困难，哥德尔夫妇乘坐西伯利亚大铁路到达太平洋，从日本航行到旧金山（他们于1940年3月4日到达），然后乘火车穿越美国到达普林斯顿。在那里，哥德尔接受了高级研究所 (IAS) 的一个职位，他之前曾在 1933-34 年访问过该研究所。[16]


在此期间，阿尔伯特·爱因斯坦 Albert Einstein也住在普林斯顿。哥德尔和爱因斯坦建立了深厚的友谊，众所周知，他们经常一起长途跋涉往返于高等研究院。他们谈话的性质对其他研究所成员来说是个谜。经济学家Oskar Morgenstern回忆说，在爱因斯坦生命的最后时刻，他坦言“自己的工作不再有意义，他来到研究所只是为了……有幸与哥德尔一起步行回家”。[17]


1942年的夏天，哥德尔和他的妻子Adele在缅因州的蓝山海湾顶端的蓝山旅馆度过。哥德尔不仅仅是在度假，而且还有一个非常富有成效的夏季工作。John w. Dawson jr.利用哥德尔尚未出版的工作笔记本中的卷15推测哥德尔发现了选择公理独立于有限类型理论（集合论的弱化形式）的证明， 1942年在蓝山时。哥德尔的密友Hao Wang支持这个猜想，并指出哥德尔的蓝山笔记本包含了他对这个问题最广泛的处理。


1947年12月5日，爱因斯坦和摩根斯坦陪同哥德尔参加了他的美国公民身份考试，他们在考试中充当了见证人。哥德尔曾向他们透露，他发现美国宪法存在不一致之处，这可能使美国成为一个独裁国家。爱因斯坦和摩根斯坦担心他们的朋友不可预测的行为可能会危及他的申请。法官是Phillip Forman，他认识爱因斯坦，并在爱因斯坦自己的公民听证会上主持了宣誓。一切都很顺利，直到 Forman 碰巧问哥德尔，他是否认为像纳粹政权一样的独裁会在美国发生，然后哥德尔开始向 Forman 解释他的发现。Forman明白发生了什么事，打断了哥德尔的话，把听证会转移到其他问题和例行结论上。[18][19]


1946年，哥德尔成为普林斯顿高等研究院的永久成员。大约在这个时候，他停止了出版，但他继续工作。他于1953年成为该研究所的正教授，并于 1976 年成为名誉教授。[20]


在研究所任职期间，哥德尔的兴趣转向哲学和物理学。1949年，他展示了涉及解的存在性封闭类时曲线，对爱因斯坦场方程的广义相对论。[21]据说，他将这一阐述作为礼物送给爱因斯坦 70 岁生日。[22]他的“旋转宇宙”将允许时间旅行到过去，并导致爱因斯坦对他自己的理论产生怀疑。他的解被称为哥德尔度量（爱因斯坦场方程的精确解）。


他研究并钦佩戈特弗里德·莱布尼茨 Gottfried Leibniz的作品，但开始相信敌对的阴谋导致Leibniz的一些作品被压制。[23]他在较小程度上研究了Immanuel Kant和Edmund Husserl。在 1970 年代初期，哥德尔在他的朋友中传播了Leibniz版本的坎特伯雷安塞姆 Anselm of Canterbury关于上帝存在的本体论证明。这现在被称为“哥德尔本体论证明 Gödel's ontological proof”。


奖励与荣誉

哥德尔于1951年被授予第一个阿尔伯特爱因斯坦奖，并于1974年被授予美国国家科学奖章[24]哥德尔当选为1968年皇家学会外籍会员[1]他是1950年在马萨诸塞州剑桥市举行的[International Congress of Mathematics | ICM的全体发言人。[25] Gödel Prize是理论计算机科学领域杰出论文的年度奖，以他的名字命名。


晚年生活与死亡

在他生命的后期，哥德尔经历了一段时间的精神不稳定和疾病。在他的密友莫里茨·施里克被暗杀后，[26]哥德尔对被毒害有着强烈的恐惧；他只会吃他的妻子阿黛尔为他准备的食物。1977 年底，她住院六个月，随后无法再为丈夫准备食物。在她不在的情况下，他拒绝进食，最终饿死。[27]他死时重 29 公斤（65 磅）。他的死亡证明报告说，他于1978年1月14日在普林斯顿医院死于“因人格障碍导致的营养不良和精神不振” 。[28]他被埋葬在普林斯顿公墓。其妻子于 1981 年去世。[29]


个人生活

宗教观点

哥德尔在基督教传统中是一个有神论者。[30]他认为上帝是个人的。


他坚信是有来世的，他说：“当然，这是假设有许多关系，而今天的科学和接受的智慧没有任何迹象。但我相信这个[来世]，独立于任何神学，“今天可以通过纯粹的推理来感知它”与已知的事实完全一致。“如果世界是理性构建并具有意义的，那么必然存在这样一种东西（作为来生）。”[31]


在对一份问卷的未加掩饰的回答中，哥德尔将他的宗教描述为“受洗的路德教（但不是任何宗教团体的成员）。我信仰“有神论”，而不是泛神论，追随Leibniz，而不是Spinoza”[32] 在描述宗教时，哥德尔说：“在很大程度上宗教可能是坏的，但宗教不是”[33]据他的妻子阿黛尔说，“哥德尔虽然没有去教堂，但他是虔诚的，每个星期天早上都在床上读圣经”，[34]谈到伊斯兰教，他说：“我喜欢伊斯兰教：它是一种始终如一的（或相应的）宗教思想和开放的思想。”[35]


遗产

成立于1987年的库尔特哥德尔协会是为了纪念他而命名的。它是一个国际组织，旨在促进逻辑学、哲学和数学史领域的研究。维也纳大学是库尔特哥德尔数理逻辑研究中心的东道主。自1990年以来，符号逻辑协会每年都会邀请一位哥德尔研究中心中心的讲师。


已经出版了五卷哥德尔的作品集。前两个包括哥德尔的出版物；第三个包括哥德尔的未出版手稿，最后两个包括通信。


哥德尔的传记由John Dawson于2005年出版，名为：“逻辑困境：库尔特·哥德尔的生活和工作 Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel”。哥德尔也是David Malone2008年BBC纪录片《危险知识 Dangerous Knowledge》 中考察的四位数学家之一。[36]


Douglas Hofstadter在1979年写了一本很受欢迎的书，名叫《哥德尔，埃舍尔，巴赫 Gödel, Escher, Bach》，以赞美哥德尔的作品和思想，以及艺术家M.C.Escher和作曲家Johann Sebastian Bach。这本书部分探讨了哥德尔的不完全性定理可以应用于任何图灵完备计算系统，其中可能包括人脑这一事实的结果。


在1994年的电影《智商 I.Q.》中哥德尔由Lou Jacobi扮演。


参考文献

重要出版物

德语版：

  • 1930, "Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls." Monatshefte für Mathematik und Physik 37: 349–60.
  • 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173–98.
  • 1932, "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül", Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69: 65–66.


英语版：


  • 1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton University Press.
  • 1947. "What is Cantor's continuum problem?" The American Mathematical Monthly 54: 515–25. Revised version in Paul Benacerraf and Hilary Putnam, eds., 1984 (1964). Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Cambridge Univ. Press: 470–85.
  • 1950, "Rotating Universes in General Relativity Theory." Proceedings of the international Congress of Mathematicians in Cambridge, 1: 175–81


英文翻译:

  • Kurt Gödel, 1992. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. B. Meltzer, with a comprehensive introduction by Richard Braithwaite. Dover reprint of the 1962 Basic Books edition.
  • Kurt Gödel, 2000.[37] On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. Martin Hirzel
  • Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press.
    • 1930. "The completeness of the axioms of the functional calculus of logic," 582–91.
    • 1930. "Some metamathematical results on completeness and consistency," 595–96. Abstract to (1931).
    • 1931. "On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems," 596–616.
    • 1931a. "On completeness and consistency," 616–17.
  • Collected Works: Oxford University Press: New York. Editor-in-chief: Solomon Feferman.
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