工具变量

工具变量是与do演算不同的联系干预层和观测层的一种方法，它通过在观测层模拟随机控制试验来得到干预层的信息，从而实现因果效应估计，它在计量经济学、流行病学中被普遍应用。尽管do演算能够计算出所有可识别的因果效应，但是对于不可识别的情况，do演算无法把干预层表达式变形为观测层表达式。此时，如果满足一定条件，工具变量也许可以发挥作用。

"它能帮助我们揭示do演算无法揭示的因果信息"。——Judea Pearl

"虽然关于工具变量集得识别问题超越了do演算的应用范畴，但我们仍然可以借助因果图来解决这个问题"。——Judea Pearl

工具变量概念

IV是工具变量，T是干预变量，Y是结果变量，U是混杂因子

当我们在研究干预变量（治疗变量）对于结果变量（解释变量）的影响时，如果干预变量和结果变量存在不可观测的共同原因，即存在混杂因子，那么干预变量对于结果变量的因果效应是不可识别的。此时，可以通过随机对照实验去混杂，可以引入干预变量和结果变量之间可观测的中介变量去混杂，当满足下列条件时，也可以通过其他变量（工具变量）去混杂：

（1）工具变量与混杂因子相互独立，不存在因果箭头

（2）工具变量与干预变量高度相关，存在工具变量指向干预变量的因果箭头

（3）工具变量与结果变量相互独立，不存在因果箭头

（4）因果机制满足线性假设（或单调性假设）

于是，线性模型下干预变量T对于结果变量Y的因果效应强度系数β为

<math> β=cov(IV(i),Y(i))/cov(IV(i),T(i)) </math>

应用案例

1853-1854年，英格兰爆发了霍乱疫情。霍乱是一种由霍乱细菌引起，主要通过水源传播的疾病，但是当时，人们此一无所知，一种具有竞争力的观点认为霍乱是由某种不可观测的“瘴气”引起该疾病，而且“瘴气”会污染水源。John Snow研究的是水源对于霍乱的影响，“瘴气”是混杂因子，供水公司是工具变量，但他并非有意识的使用工具变量。

1928年，遗传学家Sewall Green Wright的父亲经济学家Philippe Wright写的论文讨论亚麻籽油供给的弹性问题，即研究供应对价格的影响和价格对供应的影响，需求是混淆因子，他引入了亚麻籽每英亩的可变产量作为工具变量。

在临床试验的未履行问题（noncompliance）中，消胆胺服用是干预变量，胆固醇水平是结果变量，药物分配是工具变量，混杂因子可能是身体状况等。

孟德尔随机化是工具变量的另一种衍生版本。

代码实现

DAGitty：www.dagitty.net/dags.html

BayesiaLab：www.bayesia.com