二项分布

参数	[math]\displaystyle{ n \in \{0, 1, 2, \ldots\} }[/math] – --- 试验次数； [math]\displaystyle{ p \in [0,1] }[/math] – -- 每个试验的成功概率； [math]\displaystyle{ q = 1 - p }[/math]
支持	[math]\displaystyle{ k \in \{0, 1, \ldots, n\} }[/math] – --- 成功的数量
概率质量函数	[math]\displaystyle{ \binom{n}{k} p^k q^{n-k} }[/math]
‘’‘累积分布函数 ‘’‘	[math]\displaystyle{ I_{q}(n - k, 1 + k) }[/math]
‘’‘平均值’’‘	[math]\displaystyle{ np }[/math]
‘’‘中位数’’‘	[math]\displaystyle{ \lfloor np \rfloor }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \lceil np \rceil }[/math]
‘’‘模’’‘	[math]\displaystyle{ \lfloor (n + 1)p \rfloor }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \lceil (n + 1)p \rceil - 1 }[/math]
‘’‘方差’’‘	[math]\displaystyle{ npq }[/math]
‘’‘偏度’’‘	[math]\displaystyle{ \frac{q-p}{\sqrt{npq}} }[/math]
‘’‘峰度’’‘	[math]\displaystyle{ \frac{1-6pq}{npq} }[/math]
‘’‘熵’’‘	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} \log_2 (2\pi enpq) + O \left( \frac{1}{n} \right) }[/math]
‘’‘矩量母函数’’‘	[math]\displaystyle{ (q + pe^t)^n }[/math]
‘’‘特征函数’’‘ =	[math]\displaystyle{ (q + pe^{it})^n }[/math]
‘’‘概率母函数’’‘	[math]\displaystyle{ G(z) = [q + pz]^n }[/math]
‘’‘费雪信息量’’‘	[math]\displaystyle{ g_n(p) = \frac{n}{pq} }[/math] (对于固定的 [math]\displaystyle{ n }[/math])

与n和k相关的二项分布。一个8层(n = 8)的高尔顿盒子中的一个球最终进入中央箱子(k = 4)的概率是 [math]\displaystyle{ 70/256 }[/math].

在概率论和统计学中，参数为n和p的二项分布是n个独立实验序列中成功次数的’’‘离散概率分布 discrete probability distribution ‘’‘，每个实验结果是一个 是/否问题，每个实验都有布尔值结果: 成功/是/正确/1 (概率为 p)或失败/否/错误/0 (概率为 q = 1 − p)。

一个单一的结果为成功或失败的实验也被称为’’‘伯努利试验 Bernoulli trial’’‘或’’‘伯努利实验 Bernoulli experiment ‘’‘，一系列伯努利实验结果被称为’’‘伯努利过程 Bernoulli process ‘’‘; 对于一个单一的实验，即n = 1，这个二项分布是一个’’‘伯努利分布 Bernoulli distribution’’‘。二项分布是’’‘统计显著性 statistical significance ‘’‘的’’‘二项检验 binomial test ‘’‘的基础。

二项分布经常被用来模拟大小为n的样本中的成功数量，这些样本是从大小为N的种群中有放回地抽取的。如果抽样没有把抽取的个体放回总体中，抽样就不是独立的，所以得到的分布是一个’’‘超几何分布 hypergeometric distribution ‘’‘，而不是二项分布。然而，对于N远大于n的情况，二项分布仍然是一个很好的近似，并且被广泛使用。

定义

概率质量函数

一般来说，如果’’‘随机变量 random variable ‘’‘X服从参数n ∈ ℕ且 p ∈ [0,1]的二项分布，记作X ~ B(n, p)。在n个独立的伯努利试验中获得k次成功的概率由概率质量函数给出:

[math]\displaystyle{ f(k,n,p) = \Pr(k;n,p) = \Pr(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} }[/math]

对于k = 0, 1, 2, ..., n，其中

[math]\displaystyle{ \binom{n}{k} =\frac{n!}{k!(n-k)!} }[/math]

是’’‘二项式系数 binomial coefficient’’‘，因此有了分布的名字。这个公式可以理解为，K次成功发生在概率为p^k的情况下，n − k次失败发生在概率为(1 − p)^n − k的情况下。然而，k次成功可以发生在n个试验中的任何一个，并且在n个试验序列中有[math]\displaystyle{ \binom{n}{k} }[/math]种k次试验成功的不同分配方法。

在创建二项分布概率的参考表时，通常表中最多填充到n/2的值。这是因为对于k > n/2，概率可以通过它的补来计算。

[math]\displaystyle{ f(k,n,p)=f(n-k,n,1-p). }[/math].

把表达式f(k, n, p)看作k的函数，存在一个k值使它达到最大。这个k 值可以通过计算得到。

[math]\displaystyle{ \frac{f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}=\frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)} }[/math]

并且与1相比较。总有一个整数M满足

[math]\displaystyle{ (n+1)p-1 \leq M \lt (n+1)p. }[/math].

f(k, n, p)对k < M 是单调递增的，对k > M 是单调递减的，但(n + 1)p是整数的情况除外。在这种情况下，有(n + 1)p 和 (n + 1)p −1 两个值使f达到最大。M 是伯努利试验最有可能的结果(也就是说，发生的可能性最大，尽管仍然存在不发生的情况) ，被称为模。

例子

假设抛出一枚’’‘有偏硬币 biased coin ‘’‘时，正面朝上的概率为0.3。在6次抛掷中恰好看到4个正面的概率是

[math]\displaystyle{ f(4,6,0.3) = \binom{6}{4}0.3^4 (1-0.3)^{6-4}= 0.059535. }[/math].

累积分布函数

累积分布函数可以表达为:

[math]\displaystyle{ F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}, }[/math] ,

[math]\displaystyle{ \lfloor k\rfloor }[/math]是k的’’‘向下取整 round down’’‘，即小于或等于k的最大整数。

在’’‘正则化不完全的beta函数 regularized incomplete beta function ‘’‘下，它也可以表示如下:

[math]\displaystyle{ \begin{align} F(k;n,p) & = \Pr(X \le k) \\ &= I_{1-p}(n-k, k+1) \\ & = (n-k) {n \choose k} \int_0^{1-p} t^{n-k-1} (1-t)^k \, dt. \end{align} }[/math]

这相当于’’‘F分布 F-distribution’’‘的累积分布函数:

[math]\displaystyle{ F(k;n,p) = F_{F\text{-distribution}}\left(x=\frac{1-p}{p}\frac{k+1}{n-k};d_1=2(n-k),d_2=2(k+1)\right). }[/math]

下面给出了累积分布函数的一些’’‘闭式界 closed-form bounds ‘’‘。

属性

期望值和方差

如果X ~ B(n, p)，即X是一个服从二项分布的随机变量，n 是实验的总数，p 是每个实验得到成功结果的概率，那么X的期望值是:

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}[X] = np. }[/math]。

这是由于期望值的’’‘线性性 linearity’’‘，以及X是n个相同的伯努利随机变量的线性组合，每个变量都有期望值p。换句话说，如果[math]\displaystyle{ X_1, \ldots, X_n }[/math]是参数p的相同的（且独立的）伯努利随机变量，那么

[math]\displaystyle{ X = X_1 + \cdots + X_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}[X] = \operatorname{E}[X_1 + \cdots + X_n] = \operatorname{E}[X_1] + \cdots + \operatorname{E}[X_n] = p + \cdots + p = np. }[/math]

方差是:

[math]\displaystyle{ \operatorname{Var}(X) = np(1 - p). }[/math]

这也是因为独立随机变量和的方差是方差之和。

高阶矩

前6个中心矩由

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mu_1 &= 0, \\ \mu_2 &= np(1-p),\\ \mu_3 &= np(1-p)(1-2p),\\ \mu_4 &= np(1-p)(1+(3n-6)p(1-p)),\\ \mu_5 &= np(1-p)(1-2p)(1+(10n-12)p(1-p)),\\ \mu_6 &= np(1-p)(1-30p(1-p)(1-4p(1-p))+5np(1-p)(5-26p(1-p))+15n^2 p^2 (1-p)^2). \end{align} }[/math]

模

通常二项式B(n, p)分布的模等于[math]\displaystyle{ \lfloor (n+1)p\rfloor }[/math]，其中[math]\displaystyle{ \lfloor\cdot\rfloor }[/math]是’’‘向下取整函数 floor function ‘’‘。然而，当(n + 1)p是整数且p不为0或1时，二项分布有两种模: (n + 1)p和(n + 1)p − 1。当p等于0或1时，对应的模为0或n。这些情况可总结如下:

[math]\displaystyle{ \text{mode} = \begin{cases} \lfloor (n+1)\,p\rfloor & \text{if }(n+1)p\text{ is 0 or a noninteger}, \\ (n+1)\,p\ \text{ and }\ (n+1)\,p - 1 &\text{if }(n+1)p\in\{1,\dots,n\}, \\ n & \text{if }(n+1)p = n + 1. \end{cases} }[/math]

证明: 让

[math]\displaystyle{ f(k)=\binom nk p^k q^{n-k}. }[/math]

当[math]\displaystyle{ p=0 }[/math]，只有[math]\displaystyle{ f(0) }[/math]有一个非零值，[math]\displaystyle{ f(0)=1 }[/math]。当[math]\displaystyle{ p=1 }[/math]，我们发现当[math]\displaystyle{ k\neq n }[/math]，[math]\displaystyle{ f(n)=1 }[/math]且[math]\displaystyle{ f(k)=0 }[/math]。这证明了[math]\displaystyle{ p=0 }[/math]时模为0，[math]\displaystyle{ p=1 }[/math]时模为[math]\displaystyle{ n }[/math]。

当[math]\displaystyle{ 0 \lt p \lt 1 }[/math]。我们发现

[math]\displaystyle{ \frac{f(k+1)}{f(k)} = \frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)} }[/math].

由此可见

[math]\displaystyle{ \begin{align} k \gt (n+1)p-1 \Rightarrow f(k+1) \lt f(k) \\ k = (n+1)p-1 \Rightarrow f(k+1) = f(k) \\ k \lt (n+1)p-1 \Rightarrow f(k+1) \gt f(k) \end{align} }[/math]

所以当[math]\displaystyle{ (n+1)p-1 }[/math]是一个整数时，[math]\displaystyle{ (n+1)p-1 }[/math]和[math]\displaystyle{ (n+1)p }[/math]是一个模。在[math]\displaystyle{ (n+1)p-1\notin Z }[/math]的情况下，只有[math]\displaystyle{ \lfloor (n+1)p-1\rfloor+1=\lfloor (n+1)p\rfloor }[/math]是模。

中位数

一般来说，没有单一的公式可以找到一个二项分布的中位数，甚至可能不是唯一的。然而，几个特殊的结果是已经确定的:

• 如果np是一个整数，那么它的均值，中位数和模相同且等于np。

• 任何中位数m都必须满足⌊np⌋ ≤ m ≤ ⌈np⌉。
  

• 中位数m不能离均值太远。|m − np| ≤ min{ ln 2, max{p, 1 − p} 

[math]\displaystyle{ F(k;n,p) \geq \frac{1}{\sqrt{8n\tfrac{k}{n}(1-\tfrac{k}{n})}} \exp\left(-nD\left(\frac{k}{n}\parallel p\right)\right), }[/math]

• 中位数是唯一的并且等于m = round(np)，此时|m − np| ≤ min{p, 1 − p}（[math]\displaystyle{ ''p'' = {{sfrac|1|2}} }[/math]和 n 是奇数的情况除外）

这意味着更简单但更宽松的界限

[math]\displaystyle{ F(k;n,p) \geq \frac1{\sqrt{2n}} \exp\left(-nD\left(\frac{k}{n}\parallel p\right)\right). }[/math]

对于p = 1/2且n是奇数，任意m满足 (n − 1) ≤ m ≤ (n + 1)是一个二项分布的中位数。如果p = 1/2且n 是偶数，那么m = n/2是唯一的中位数:

[math]\displaystyle{ F(k;n,p) \geq \frac1{\sqrt{2n}} \exp\left(-nD\left(\frac{k}{n}\parallel p\right)\right); }[/math]

当p = 1/2并且n为偶数，k ≥ 3n/8时, 可以使分母为常数。

‘’‘尾部边界’’‘

对于k≤np，可以得出累积分布函数左尾的上界[math]\displaystyle{ F(k;n,p)=Pr(X \le k) }[/math]，即最多存在k次成功的概率。由于[math]\displaystyle{ Pr(X \ge k) = F(n-k;n,1-p) }[/math]，这些界限也可以看作是k≥np的累积分布函数右尾的边界。

[math]\displaystyle{ F(k;n,\tfrac{1}{2}) \geq \frac{1}{15} \exp\left(- 16n \left(\frac{1}{2} -\frac{k}{n}\right)^2\right). \! }[/math]

‘’‘霍夫丁不等式 Hoeffding's inequality ‘’‘得到简单的边界

[math]\displaystyle{ F(k;n,p) \leq \exp\left(-2 n\left(p-\frac{k}{n}\right)^2\right), \! }[/math]

然而，这并不是很严格。特别是，当p=1时，有F(k;n，p) = 0(对于固定的k，n与k < n)，但是Hoeffding的约束评价为一个正的常数。

当 n 已知时，参数 p 可以使用成功的比例来估计:[math]\displaystyle{ \widehat{p} = \frac{x}{n} }[/math]。可以利用’’‘极大似然估计 maximum likelihood estimator ‘’‘和’’‘ 矩方法 method of moments’’‘来求出该估计量。’’‘Lehmann-scheffé 定理’’‘证明了该估计量是无偏的一致的且方差最小的，因为该估计量是基于一个极小’’‘充分完备统计量 sufficient and complete statistic’’‘(即: x).它在概率和’’‘均方误差 MSE’’‘方面也是一致的。

可以从’’‘切尔诺夫界 Chernoff bound’’‘中得到一个更清晰的边界。

利用 Beta分布作为’’‘共轭先验分布 conjugate prior distribution ‘’‘时，也存在p的封闭形式的’’‘贝叶斯估计 Bayes estimator ‘’‘。当使用一个通用[math]\displaystyle{ \operatorname{Beta}(\alpha, \beta) }[/math]作为先验时，后验均值估计量为: [math]\displaystyle{ \widehat{p_b} = \frac{x+\alpha}{n+\alpha+\beta} }[/math]。贝叶斯估计是渐近有效的，当样本容量趋近无穷大(n →∞)时，它趋近极大似然估计解。贝叶斯估计是有偏的(偏多少取决于先验) ，可接受的且一致的概率。

[math]\displaystyle{ F(k;n,p) \leq \exp\left(-nD\left(\frac{k}{n}\parallel p\right)\right) }[/math]

对于使用标准均匀分布作为非信息性的先验概率的特殊情况([math]\displaystyle{ \operatorname{Beta}(\alpha=1, \beta=1) = U(0,1) }[/math])，后验均值估计变为[math]\displaystyle{ \widehat{p_b} = \frac{x+1}{n+2} }[/math] (后验模式应只能得出标准估计量)。这种方法被称为’’‘继承法则 the rule of succession ‘’‘，它是18世纪皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 Pierre-Simon Laplace提出的。

其中D(a || p)是参数为a和p的相对熵，即Bernoulli(a)和Bernoulli(p)概率分布的差值：

当估计用非常罕见的事件和一个小的n (例如，如果x = 0) ，那么使用标准估计会得到[math]\displaystyle{ \widehat{p} = 0 }[/math]，这有时是不现实的和我们不希望看到的。在这种情况下，有各种可供选择的估计值。一种方法是使用贝叶斯估计，得到:[math]\displaystyle{ \widehat{p_b} = \frac{1}{n+2} }[/math])。另一种方法是利用从3个规则获得的置信区间的上界: [math]\displaystyle{ \widehat{p_{\text{rule of 3}}} = \frac{3}{n}) }[/math]

[math]\displaystyle{ D(a\parallel p)=(a)\log\frac{a}{p}+(1-a)\log\frac{1-a}{1-p}. \! }[/math]

渐近地，这个边界是相当严格的；详见。

即使对于非常大的 n 值，均值的实际分布是非正态的。针对这一问题，提出了几种估计置信区间的方法。

我们还可以得到尾部[math]\displaystyle{ F(k;n,p) }[/math]的下界，即’’‘反集中界anti-concentration bounds ‘’‘。通过用’’‘斯特林公式 Stirling's formula’’‘对二项式系数进行近似，可以看出：

[math]\displaystyle{ F(k;n,p) \geq \frac{1}{\sqrt{8n\tfrac{k}{n}(1-\tfrac{k}{n})}} \exp\left(-nD\left(\frac{k}{n}\parallel p\right)\right), }[/math]

在下面的置信区间等式中，这些变量具有以下含义:

这意味着更简单但更松散的约束。

[math]\displaystyle{ F(k;n,p) \geq \frac1{\sqrt{2n}} \exp\left(-nD\left(\frac{k}{n}\parallel p\right)\right). }[/math]

当p = 1/2并且n为偶数，k ≥ 3n/8时, 可以使分母为常数

[math]\displaystyle{ F(k;n,\tfrac{1}{2}) \geq \frac{1}{15} \exp\left(- 16n \left(\frac{1}{2} -\frac{k}{n}\right)^2\right). \! }[/math]

[math]\displaystyle{ \widehat{p\,} \pm z \sqrt{ \frac{ \widehat{p\,} ( 1 -\widehat{p\,} )}{ n } } }[/math]

统计推断

可以加上0.5/n 的连续校正。

参数估计

Beta分布 贝叶斯推断

当n已知时，参数p可以用成功的比例来估计：[math]\displaystyle{ \widehat{p} = \frac{x}{n}. }[/math]。这个估计是用极大似然估计法和矩估计方法来计算的。这个估计是无偏的、一致的且有最小的方差，由Lehmann-Scheffé定理证明，因为它是基于最小充分完备统计量（即：x）。它的概率和均方误差（MSE）也是一致估计。

[math]\displaystyle{ \tilde{p}\pm z\sqrt{\frac{\tilde{p}(1 - \tilde{p})}{ n + z^2 }} }[/math] .

利用 Beta分布作为共轭先验分布时，也存在p的封闭形式的贝叶斯估计。当使用一个通用[math]\displaystyle{ \operatorname{Beta}(\alpha, \beta) }[/math]作为先验时，后验均值估计量为: [math]\displaystyle{ \widehat{p_b} = \frac{x+\alpha}{n+\alpha+\beta} }[/math]。贝叶斯估计是渐近有效的，当样本容量趋近无穷大(n →∞)时，它趋近极大似然估计（MLE）解。贝叶斯估计是有偏的(偏多少取决于先验) ，可接受的且一致的概率。

这里p的估计被修改为

对于使用标准均匀分布作为非信息性的先验概率的特殊情况([math]\displaystyle{ \operatorname{Beta}(\alpha=1, \beta=1) = U(0,1) }[/math])，后验均值估计变为[math]\displaystyle{ \widehat{p_b} = \frac{x+1}{n+2} }[/math] (后验模式应只能得出标准估计量)。这种方法被称为继承法则，它是18世纪 Pierre-Simon Laplace提出的。

[math]\displaystyle{ \tilde{p}= \frac{ n_1 + \frac{1}{2} z^2}{ n + z^2 } }[/math]

当估计值p时非常罕见，而且很小（例如：如果x=0），那么使用标准估计器会得到[math]\displaystyle{ \widehat{p} = 0, }[/math]，这有时是不现实的，也是不可取的。在这种情况下，有几种不同的可替代的估计方法。一种方法是使用贝叶斯估计，得到: [math]\displaystyle{ \widehat{p_b} = \frac{1}{n+2} }[/math])。另一种方法是利用从3个规则获得的置信区间的上界: [math]\displaystyle{ \widehat{p_{\text{rule of 3}}} = \frac{3}{n} }[/math])

值信区间

[math]\displaystyle{ \sin^2 \left(\arcsin \left(\sqrt{\widehat{p\,}}\right) \pm \frac{z}{2\sqrt{n}} \right). }[/math]

即使对于相当大的n值，平均数的实际分布是显著非正态的，由于这个问题，人们提出了几种估计置信区间的方法。

在下面的置信区间公式中，变量具有以下含义

• n₁是n中的成功次数，即试验的总次数。

• [math]\displaystyle{ \widehat{p\,} = \frac{n_1}{n} }[/math]是成功的比例。

下列公式中的符号在两个地方不同于以前的公式:

• [math]\displaystyle{ z }[/math]是’’‘标准正态分布 standard normal distribution ‘’‘的[math]\displaystyle{ 1 - \tfrac{1}{2}\alpha }[/math]分位数(即概率)对应的目标错误率 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]。例如，95%的’’‘置信度 confidence level ‘’‘的错误率为[math]\displaystyle{ \alpha }[/math] = 0.05，因此 [math]\displaystyle{ 1 - \tfrac{1}{2}\alpha }[/math] = 0.975 并且[math]\displaystyle{ z }[/math] = 1.96.

Wald 法

[math]\displaystyle{ \frac{p}{z^2}{2n}\widehat{p\,}+\frac{z^2}{2n}+z }[/math]

阿格里斯蒂-库尔方法

[math]\displaystyle{ \frac{z^2}{4 n^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \tilde{p} \pm z \sqrt{ \frac{ \tilde{p} ( 1 - \tilde{p} )}{ n + z^2 } } . }[/math]

[math]\displaystyle{ 1 + \frac{z^2}{n} }[/math]

这里p的估计量被修改为

[math]\displaystyle{ \tilde{p}= \frac{ n_1 + \frac{1}{2} z^2}{ n + z^2 } }[/math]

确切的(克洛佩尔-皮尔森)方法是最保守的。

弧线法

设X ~ B(n,p1)和Y ~ B(m,p2)是独立的。设T = (X/n)/(Y/m)。

然后log(T)近似服从正态分布，均值为log(p1/p2)和方差为[math]\displaystyle{ ((1/p1) − 1)/n + ((1/p2) − 1)/m }[/math]。

[math]\displaystyle{ \sin^2 \left(\arcsin \left(\sqrt{\widehat{p\,}}\right) \pm \frac{z}{2\sqrt{n}} \right). }[/math]

威尔逊法

如果X ~ B(n, p)和Y | X ~ B(X, q) (给定Y的条件分布 X) ，则Y是服从Y ~ B(n, pq)的简单二项随机变量。

例如，想象一下把 n 个球扔到一个篮子UX里，然后把击中的球扔到另一个篮子UY里。如果 p 是击中 UX 的概率，那么X ~ B(n, p)是击中 UX 的球数。如果 q 是击中 UY 的概率，那么击中 UY的球数是Y ~ B(X, q)，那么Y ~ B(n, pq)。

下面的公式中的符号与前面的公式有两个不同之处

• 首先，z_x在下式中的解释略有不同：它的普通含义是标准正态分布x-th的分位数，而不是(1 − x)-th分位数的简写。

• 其次，这个公式没有使用加减法来定义两个界限。相反，我们可以使用[math]\displaystyle{ z = z_{/alpha / 2} }[/math]得到下限，或者使用[math]\displaystyle{ z = z_{1 - \alpha/2} }[/math]得到上限。例如：对于95%的置信度，误差为[math]\displaystyle{ alpha }[/math] = 0.05，所以用[math]\displaystyle{ z = z_{/alpha/2} = z_{0.025} = - 1.96 }[/math]得到下限，用[math]\displaystyle{ z = z_{1 - \alpha/2} = z_{0.975} = 1.96 }[/math]得到上限。

由于X [math]\displaystyle{ \sim B(n, p) }[/math]和Y [math]\displaystyle{ \sim B(X, q) }[/math]，由’’‘全概率公式 the law of total probability ‘’‘,

[math]\displaystyle{ \widehat{p\,} + \frac{z^2}{2n} + z }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\widehat{p\,}(1 - \widehat{p\,})}{n} }[/math]

由于[math]\displaystyle{ \tbinom{n}{k} \tbinom{k}{m} = \tbinom{n}{m} \tbinom{n-m}{k-m} }[/math]，上述方程可表示为

[math]\displaystyle{ \frac{z^2}{4 n^2} }[/math]

对[math]\displaystyle{ p ^ k = p ^ m p ^ { k-m } }[/math]进行分解，从总和中取出所有不依赖于 k 的项，现在就得到了结果

[math]\displaystyle{ 1 + \frac{z^2}{n} }[/math]

比较

因此[math]\displaystyle{ Y \sim B(n, pq) }[/math]为所需值。

最精确的二项式比例置信区间#Clopper–Pearson区间方法是最保守的。

Wald法虽然是教科书上普遍推荐的方法，但却是最偏颇的方法。

伯努利分布是二项分布的一个特例，其中n = 1。在符号上，X ~ B(1, p)与X ~ Bernoulli(p)具有相同的意义。反之，任何二项分布B(n, p)是 n 个伯努利试验和的分布，每个试验的概率 p 相同。

相关分布

二项式之和

二项分布是泊松二项分布的一个特例，也叫一般二项分布，它是 n 个独立的不同的伯努利试验B(pi)和的分布。

如果X ~ B(n, p)和Y ~ B(m, p)是独立的二项式变量，概率相同且为p，那么X  + Y又是一个二项式变量，其分布是Z=X+Y ~ B(n+m, p)。

二项式n = 6 and p = 0.5的概率质量函数和正态概率密度函数近似

如果 n 足够大，那么分布的偏斜就不会太大。在这种情况下，通过正态分布给出B(n, p)的合理近似

但是，如果X和Y的概率p不一样，那么和的方差将是小于二项式变量的方差的分布为[math]\displaystyle{ B(n+m, \bar{p}).\, }[/math]。

两个二项式分布的比值

通过适当的连续性修正，可以简单地改进这种基本近似。

基本近似通常随着 n 的增加而改进(至少20) ，当 p 不接近0或1时更好。经验法则可以用来判断 n 是否足够大，p的极值是否远离0或1

这个结果最早是由卡兹 Katz和合著者在1978年得出的。

令X ~ B(n,p₁)和Y ~ B(m,p₂)独立，T = (X/n)/(Y/m)。

例如，假设从大群体中随机抽取了 n 个人，然后询问他们是否同意某种说法。同意的人的比例取决于样本。如果 n 组人群被重复随机地取样，其比例将遵循一个近似正态分布，均值等于总体中一致性的真实比例 p，标准差:[math]\displaystyle{ \sigma = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} }[/math]

则log(T)近似正态分布，均值为log(p₁/p₂)，方差为((1/p₁) - 1)/n + ((1/p₂) - 1)/m。

条件二项式

如果X ~ B(n, p)和Y | 'X ~ B(X, q)('Y的条件分布，给定&nbsp。 X），则Y是一个简单的二项式随机变量，其分布为Y ~ B(n, pq)。

当试验数量趋于无穷大，而np 保持不变或者至少 p 趋于零时，二项分布收敛到泊松分布。因此，如果 n 是足够大，p 足够小的话，参数为λ = np的泊松分布可以作为二项分布B(n, p)的近似。根据两个经验法则，如果n ≥ 20和p ≤ 0.05,或者如果n ≥ 100 and np ≤ 10，则这个近似是好的。

例如，想象将n个球扔到一个篮子里U_X，然后把击中的球扔到另一个篮子里U_Y。如果p是击中U_X的概率，那么X ~ B(n, p)就是击中U_X的球数。如果q是击中U_Y的概率，那么击中U_Y的球数是Y ~ B(X, q)，因此Y ~ B(n, pq)。

关于泊松近似的准确性，参见 Novak，ch.4，及其中的参考资料。

由于[math]\displaystyle{ X \sim B(n, p) }[/math]和[math]\displaystyle{ Y \sim B(X, q) }[/math]，由全概率公式，

[math]\displaystyle{ P(p;\alpha,\beta) =\frac{p^{\alpha-1}(1-p)^{\beta-1}}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}. }[/math]

[math]\displaystyle{ P (p; alpha，beta) = frac { p ^ { alpha-1}(1-p) ^ { beta-1}{ mathrm { b }(alpha，beta)}}. }[/math]

给定一个一致性先验，给定观察到成功结果的独立事件成功概率的后验分布是一个beta分布。

由于[math]\displaystyle{ \tbinom{n}{k} \tbinom{k}{m} = \tbinom{n}{m} \tbinom{n-m}{k-m}, }[/math]上式可表示为

将 [math]\displaystyle{ p^k = p^m p^{k-m} }[/math] 进行分解，并将所有不依赖于 [math]\displaystyle{ k }[/math] 的项从总和中抽出，即可得到

‘’‘边缘分布 marginal distribution ‘’‘是二项分布较完善的随机数产生方法。

一种从二项分布中产生随机样本的方法是使用’’‘反演算法 inversion algorithm ‘’‘。要做到这一点，我们必须计算从到的所有值的概率。(为了包含整个样本空间，这些概率的和应该接近于1。)然后，通过使用伪随机数生成器来生成介于0和1之间的样本，可以使用在第一步计算出的概率将计算出的样本转换成离散数。

将 [math]\displaystyle{ i = k - m }[/math] 代入上述表达式后，我们得到了

这个分布是由雅各布 ·伯努利 Jacob Bernoulli推导出来的。他考虑了p = r/(r + s)的情形，其中 p 是成功的概率，r 和 s 是正整数。早些时候，布莱斯 · 帕斯卡 Blaise Pascal考虑过p = 1/2的情况。

请注意，上述的和（括号内）等于[math]\displaystyle{ (p - pq + 1 - p)^{n-m} }[/math]由’’‘二项式定理 binomial theorem’’‘得出。将此代入最终得到

伯努利分布

伯努利分布是二项分布的特例，其中n = 1.从符号上看，X ~ B(1, p)与X ~ Bernoulli(p)具有相同的意义。相反，任何二项分布，B(n, p)是n个伯努利试验的和的分布，每个概率p相同。

泊松二项分布

二项分布是泊松二项分布或广义二项分布的特例，它是n个独立的不相同的伯努利试验之和的分布。B(p_i)

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