偏微分方程

以三维表示温度的二维热方程解的可视化

在数学中，偏微分方程函数 Partial Differential Equation（PDE）是包含未知多元函数及其偏导数的微分方程。偏微分方程用于描述涉及多元函数的问题，可以通过人为求解，也可以通过建立计算机模型来求解。常微分方程是偏微分方程（ODEs）一种特殊情况，它处理的是一元函数及其导数。

偏微分方程可以用来描述各种各样的物理现象，如声音，热量，扩散，静电，电动力学，流体力学，弹性力学，重力和量子力学。这些看起来截然不同的物理现象却可以用类似的偏微分方程来描述。正如常微分方程经常对一维动力系统进行建模一样，偏微分方程经常对多维系统进行建模。随机偏微分方程是偏微分方程的一种推广。

引言

偏微分方程涉及到方程相对于连续变量的变化率。例如，刚体的位置是由六个参数确定的，^[1]而流体的状态是由几个参数的连续分布给出的，如温度、压力等。刚体的动力学过程发生在有限维状态空间中，流体的动力学过程发生在无限维状态空间中。这种区别通常使偏微分方程比常微分方程更难求解，但是线性问题仍然有简单的求解方式。使用偏微分方程的经典领域包括声学、流体力学、电动力学和传热学。

函数 $u (x 1,\dots x n)$ 的偏微分方程形式是：

[math]\displaystyle{ f \left (x_1, \ldots x_n; u, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \ldots \frac{\partial u}{\partial x_n}; \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_1}, \ldots \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_n}; \ldots \right) = 0. }[/math]

如果 $f$ 是函数 $u$ 及其导数的线性函数，则偏微分方程称为线性函数。线性偏微分方程的常见例子包括热方程、波动方程、拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程方程、克莱因-高登方程和泊松方程。

一个相对简单的偏微分方程：

[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = 0. }[/math]

这意味着函数 $u (x, y)$ 独立于 $x$ 的。然而，这个方程没有给出关于函数和自变量 $y$ 的相关性信息。因此，这个方程的通解是

[math]\displaystyle{ u(x,y) = f(y), }[/math]

其中， $f$ 是 $y$ 的任意函数。类似的常微分方程是：

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}(x) = 0, }[/math]

它的解为

[math]\displaystyle{ u(x) = c, }[/math]

这里， $c$ 是一个任意常量。这两个例子说明常微分方程的一般解包含任意常数，但偏微分方程的解包含任意函数。

偏微分方程的解一般不是唯一的; 一般必须在定义解的区域边界上定义附加条件。例如，在上面的简单示例中，如果在 $x = 0$ 时确定了 $u$ 的值，则可以确定该函数 $f (y)$ 。

存在性和唯一性

尽管常微分方程解的存在性和唯一性用弗罗贝尼乌斯定理 Picard–Lindelöf Theorem得到了令人满意的结果，但偏微分方程解的存在性和唯一性却远没有得到解决。柯西-科瓦列夫斯基定理 Cauchy–Kowalevski theorem指出：对于任意系数在未知函数及其导数中解析的偏微分方程，柯西问题存在一个局部唯一的解析解。虽然这个结果似乎解决了解的存在性和唯一性问题，但是存在一些线性偏微分方程-其系数具有所有级数的导数（尽管这些导数不是解析的），但是根本没有解: 见 Lewy (1957)。即使偏微分方程的解存在且唯一，它仍然可能具有不可预料的性质。这些问题的数学研究通常是在更有力的弱解的背景下进行的。

反常特征的一个例子是拉普拉斯方程的柯西问题的序列(取决于 $n$ )

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0, }[/math]

具有边界条件

[math]\displaystyle{ \begin{align} u(x,0) &= 0, \\ \frac{\partial u}{\partial y}(x,0) &= \frac{\sin nx}{n}, \end{align} }[/math]

其中 $n$ 是整数。 $u$ 关于 $y$ 的导数，一致地随着 $n$ 的增加而趋于零，但解是

[math]\displaystyle{ u(x,y) = \frac{\sinh ny \sin nx}{n^2}. }[/math]

对于任何非零的 $y$ ，如果 $nx$ 不是模板模板:Pi 的整数倍，这个解会接近于无穷大。拉普拉斯方程的柯西问题被称为不适定的（可以译为ill-posed或not well-posed），因为解不是连续地依赖于问题的数据。这种不适定问题通常不能满足物理应用。

偏微分方程纳维-斯托克斯方程的解的存在性就是千禧年大奖难题之一的一部分。

符号

在偏微分方程中，通常用下标表示偏导数。例如:

[math]\displaystyle{ u_x = \frac{\partial u}{\partial x} }[/math]

[math]\displaystyle{ u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ u_{xy} = \frac{\partial^2 u}{\partial y\, \partial x} = \frac{\partial}{\partial y } \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right). }[/math]

特别是在物理学中，del 或 nabla ( $\nabla$ ) 经常用来表示空间导数和时间导数。例如，波动方程（在下文中提到）可以写成：

[math]\displaystyle{ \ddot u=c^2\nabla^2u }[/math]

或

[math]\displaystyle{ \ddot u=c^2\Delta u }[/math]

其中， $Δ$ 代表拉普拉斯算子。

分类

一些线性二阶偏微分方程可分为抛物型方程、双曲型方程和椭圆型方程。其他的方程，如欧拉-特里科米方程 Euler–Tricomi equation，在不同的领域有不同的类型。这种分类有助于选择适当的初始和边界条件以及提高解的平滑性。

一阶方程

二阶线性方程

假设 $u xy = u yx$ ，含有两个独立变量的一般线性二阶偏微分方程具有如下形式：

[math]\displaystyle{ Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots \mbox{(lower order terms)} = 0, }[/math]

其中的系数 $A$ , $B$ , $C$ ... 一般取决于 $x$ 和 $y$ 。如果在 $xy$ -平面的一个区域上 $A 2 + B 2 + C 2 > 0$ ，偏微分方程是二阶的，这种形式类似于圆锥截面的方程:

[math]\displaystyle{ Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0. }[/math]

更准确地说，用 $X$ 替换 $\partial x$ ，并同样替换其它变量(通常由傅里叶变换完成)，将一个常系数偏微分方程转换成一个相同次数的多项式，最高次数的项（齐次多项式，这里是一个二次形式）对于偏微分方程的分类最为重要。

正如人们可以根据判别式 $B 2 - 4 AC$ 将圆锥截面和二次型分为抛物型、双曲型和椭圆型一样，对于给定点的二阶偏微分方程也可以这样做。然而，偏微分方程中的判别式 $B 2 - 4 AC$ 是根据交叉项的系数 $2 B$ 而不是 $B$ 给出的，形式上，判别式(关联二次型)是 $(2 B) 2 - 4 AC = 4(B 2 - AC)$ ，为简单起见，去掉了因子4。

$B 2 - AC < 0$ (椭圆型微分方程)：在定义方程和解的区域内部，椭圆型偏微分方程的解在系数允许的程度内光滑。例如，拉普拉斯方程的解在它们被定义的区域内是解析的，但可能假设边界值是不光滑的。亚音速流体的运动可以用椭圆型偏微分方程近似，欧拉-特里科米方程在 $x < 0$ 时是椭圆型偏微分方程。
$B 2 - AC = 0$ （抛物型偏微分方程）：在每一点上都是抛物线型的方程可以通过改变自变量从而转化成类似于热方程的形式。随着转换后的时间变量的增加，方程的解变得平滑。欧拉-特里科米方程在特征线 $x = 0$ 上是抛物线型的。
$B 2 - AC > 0$ (双曲型偏微分方程)：双曲型方程在初始数据中保留了函数或导数的任何不连续性。波动方程就是其中的一个例子。超音速流体的运动可以用双曲型偏微分方程近似，欧拉-特里科米方程在 $x > 0$ 时是双曲型的。

如果存在 $n$ 个自变量 $x 1, x 2,\dots x n$ ，一般二阶线性偏微分方程的形式是：

[math]\displaystyle{ L u =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \quad \text{ plus lower-order terms} =0. }[/math]

这种分类取决于系数矩阵特征值的符号（正负性）。

椭圆形方程: 特征值全部为正或全部为负。
抛物线形方程:除了一个为零值，特征值全部为正或全部为负。
双曲形方程: 只有一个负特征值，其余的都是正特征值，或者只有一个正特征值，其余的都是负特征值。
超双形方程: 存在多于一个正特征值和多于一个的负特征值，且不存在零特征值。对于超双曲方程，只存在有限的理论(Courant 和 Hilbert，1962)。

一阶方程组和特征曲面

偏微分方程的分类可以推广到一阶方程组，其中未知量 $u$ 是有 $m$ 个分量的向量。对于 $ν = 1, 2,\dots n$ ，系数矩阵 $A ν$ 是 $m$ × $m$ 的矩阵。偏微分方程形式如下：

[math]\displaystyle{ Lu = \sum_{\nu=1}^{n} A_\nu \frac{\partial u}{\partial x_\nu} + B=0, }[/math]

其中，系数矩阵 $A ν$ 和向量 $B$ 可能依赖于 $x$ 和 $u$ 。如果超曲面是以以下隐式形式给出的，

[math]\displaystyle{ \varphi(x_1, x_2, \ldots x_n)=0, }[/math]

其中，存在一个非零的梯度 $φ$ ，对于在给定点上特征形式消失的算子，特征曲面 $S$ 形式如下:

[math]\displaystyle{ Q\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x_1}, \ldots\frac{\partial\varphi}{\partial x_n}\right) =\det\left[\sum_{\nu=1}^nA_\nu \frac{\partial \varphi}{\partial x_\nu}\right]=0.\, }[/math]

这个条件的几何解释如下: 如果关于 $u$ 的数据是在曲面 $S$ 上规定的，那么就有可能依据微分方程确定曲面 $S$ 上 $u$ 的法向导数。如果曲面 $S$ 上的数据和上面的微分方程能确定曲面 $S$ 上 $u$ 的法向导数，那么它就是非特征的。如果曲面 $S$ 上的数据和上面的微分方程不能确定曲面 $S$ 上 $u$ 的法向导数，那么曲面是特征的，并且微分方程将数据限制在曲面 $S$ 上：微分方程是在曲面 $S$ 内部。

如果对于 $L$ 没有曲面是特征的，则一阶系统 $Lu = 0$ 是椭圆形的： $u$ 在 $S$ 的值和微分方程总能够决定 $S$ 上 $u$ 的法向导数。
如果在该点存在一个法向量为 $ξ$ 的 类空曲面 Spacclike Surface $S$ ，则一阶系统在那一点是双曲的。这意味着，给定任意正交于 $ξ$ 的非平凡向量 $η$ 和一个标量乘子 $λ$ ，方程 $Q (λξ + η) = 0$ 有 $m$ 个实根 $λ 1, λ 2,\dots λ m$ 。如果这些根始终不同，则该系统是严格双曲形的。这个条件的几何解释如下: 特征形式 $Q (ζ) = 0$ 定义了一个具有齐次坐标 ζ的圆锥(法线圆锥)。在双曲形的情况下，这个圆锥体有 $m$ 层，并且轴 $ζ = λξ$ 在这些层中运动: 它不与任何一层相交。但是当从原点偏离η时，这条轴线与每一层都相交。在椭圆形的情况下，法向圆锥没有实层。

混合型方程

如果偏微分方程有非常数的系数，那么它可能不属于这些类别中的任何一个，而是属于混合型。一个简单但重要的例子是欧拉-特里科米方程：

[math]\displaystyle{ u_{xx} = xu_{yy}, }[/math]

它在 $x < 0$ 的区域上是椭圆形，在 $x > 0$ 区域上是双曲形，在 $x = 0$ 这条线上是退化为抛物线形，因此称之为椭圆-双曲型。

量子力学中的无限阶偏微分方程

在量子力学中的相空间表述中，我们可以考虑求解量子粒子的轨迹的量子哈密顿的方程。这些方程是无限阶偏微分方程。然而，在半经典展开中，我们在给定 $ħ$ 阶数下有一个有限的常微分方程组。维格纳函数 Wigner Function的演化方程也是一个无限阶偏微分方程。量子轨道具有量子特性，通常可以用来计算维格纳函数的演化。

解析解

分离变量法

线性偏微分方程组可以通过分离变量法简化为常微分方程组。这种方法依赖于微分方程解的一个特性: 如果能找到任何一个满足方程和边界条件的解，那么这个解就是方程的解(这也适用于常微分方程)。我们假设解对空间和时间的依赖可以写成对它们每一项的依赖的乘积，然后再看否可以用来解决问题。

在分离变量法方法中，可以将偏微分方程简化为含有更少变量的偏微分方程，如果只有一个变量，那么就变成了一个常微分方程 Ordinary Differential Equation--，这些方程也更容易求解。

对于简单的偏微分方程(称为可分离偏微分方程)来说，这是可能的，而且方程通常定义在一个矩形区域(区间的积)上。可分离偏微分方程对应于对角线矩阵——以“固定值”为坐标，每个坐标可分开理解。

这种方法可以推广到特征曲线法，也可以用于积分变换。

特征曲线法

在特殊情况下，可以找到一些特征曲线，在这些曲线上方程可以变成一个常微分方程——意味着改变坐标从而使这些曲线变直从而达到分离变量的目的，这就是所谓的特征曲线法。

更一般地说，人们可能会找到特征表面。

积分变换

积分变换可以将偏微分方程转换为更简单的偏微分方程，特别是可分离的偏微分方程。这对应于对角化算符。

这方面的一个重要例子是傅里叶分析 Fourier Analysis，它使用正弦波的特征基来对角化热方程。

如果区域是有限的或周期性的，那么解为无限和的形式是恰当的，例如傅里叶级数，但是一个解的积分，例如傅立叶积分，一般是在无限区域上的。上面给出的热传导方程的点源解法就是使用傅里叶积分的一个例子。

变量代换

偏微分方程通常可以通过变量的适当变化，用已知的解简化为更简单的形式。例如，布莱克-舒尔斯偏微分方程 the Black–Scholes PDE

[math]\displaystyle{ \frac{\partial V}{\partial t} + \tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0 }[/math]

可以简化为热传导方程

[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} }[/math]

通过变量替换

[math]\displaystyle{ \begin{align} V(S,t) &= K v(x,\tau),\\[5px] x &= \ln\left(\tfrac{S}{K} \right),\\[5px] \tau &= \tfrac{1}{2} \sigma^2 (T - t),\\[5px] v(x,\tau)&=e^{-\alpha x-\beta\tau} u(x,\tau). \end{align} }[/math]

基本解

非齐次方程（常系数偏微分方程）一般是通过先求出基本解（点源的解），然后利用带边界条件的卷积来求解。

这类似于在信号处理中通过滤波器的脉冲响应来理解滤波器。

叠加原理

叠加原理 Superposition Principle适用于任何线性系统，包括偏微分方程的线性系统。这个概念的一个常见的可视化是两个同相位的波相互作用结合在一起会产生更大的振幅，例如 $sin x + sin x = 2 sin x$ 。在偏微分方程中也可以观察到同样的原理，其中的解可能是真实的或复杂的和可加的。叠加

若线性偏微分方程在某个函数空间 $R$ 中有解 $u 1$ 和 $u 2$ ，则 $u = c 1 u 1 + c 2 u 2$ 也是该偏微分方程在同一函数空间中的解，其中 $c 1$ 和 $c 2$ 是任意常数。

非线性方程的求解方法

对于非线性偏微分方程，目前还没有普遍适用的求解方法。然而，通常是可能知道解的存在性和唯一性(如柯西-科瓦列夫斯基定理)，也是可能得到解的重要定性和定量性质的证明(得到这些结果是分析的主要部分)。非线性偏微分方程的计算解，即分步法，对一些特定的方程适用，比如非线性薛定谔方程 Schrödinger equation。

然而，一些技巧可以用于几种类型的方程。h-原理是求解欠定方程最有效的方法。里基尔-珍妮特理论 Riquier–Janet theory是一种可以获得许多解析超定系统信息的有效方法。

特征线法可用于求解某些特殊情况下的偏微分方程。

在某些情况下，偏微分方程可以通过扰动分析来求解。在扰动分析中，通常是求解将具有已知解的方程修正后的新得到方程。可供选择的数值分析技术从简单的差分格式到更成熟的多重网格和有限元方法。许多有趣的科学和工程问题都是在计算机上用这种方法解决的，有时是高性能超级计算机。

李群方法

从1870年起，Sophus Lie的工作为微分方程理论奠定了一个较为令人满意的基础。他指出，通过引入现在所谓的李群，老一辈数学家的积分理论可以引用到一个共同的来源; 承认相同的无穷小变换的常微分方程在积分方面存在相当的困难。他还强调了接触变换这一主题。

求解偏微分方程的一般方法是利用微分方程的对称性，即解到解的连续无穷小变换（李氏理论）。连续群论、李氏代数和微分几何理论被用来理解生成可积方程的线性和非线性偏微分方程的结构，找到它的Lax对、递归算子、贝克伦德变换 Bäcklund transform，最后找到偏微分方程的精确解析解。

对称方法已被公认可以用于研究出现在数学，物理，工程和许多其他学科的微分方程。

半解析方法

阿多米安分解法 Adomian decomposition method、李雅普诺夫人工小参数方法和何同伦摄动方法都是更一般的同伦分析方法的特殊情况。除了李雅普诺夫方法之外，这些都是级数展开方法，与为人熟知的摄动理论方法相比，它们与小的物理参数无关，因此这些方法具有更大的灵活性和解的通用性。

数值解

求解偏微分方程最常用的三种数值方法是有限元分析法、有限体积法和有限差分法，以及其他一些称为无网格法的方法，用于解决前面用提到的方法求解受到限制的问题。在这些方法中，有限元方法，尤其是高效的高阶有限元方法（hp-FEM），占有重要地位。其他有限元法和无网格法的混合形式包括广义有限元分析法 generalized finite element method（GFEM）、扩展有限元分析法 extended finite element method（XFEM）、谱有限元分析法 Spectral element method（SFEM）、无网格有限元分析法 meshfree finite element method、间断伽辽金有限元分析法 Discontinuous Galerkin finite element method（DGFEM）、无单元伽辽金法 Element-Free Galerkin Method（EFGM）、插值无单元伽辽金法 Interpolating Element-Free Galerkin Method（IEFGM）等。

有限元分析法

有限元分析法 Finite Element Method（FEM） ，其实际应用通常被称为有限元分析（FEA），是一种寻找偏微分方程(PDE)和积分方程近似解的数值技术。这种求解方法要么基于完全消除微分方程(稳态问题) ，要么将偏微分方程转化为常微分方程的近似系统，然后使用标准技术进行数值积分，如欧拉方法、 Runge-Kutta 等。

有限差分法

有限差分法是一种数值方法，用差分方程近似倒数来近似微分方程的解。

有限体积法

类似于有限差分法或有限元分析，函数值是在网格化的几何体上的离散位置进行计算的。“有限体积”是指网格上每个节点周围的小体积。在有限体积法中，偏微分方程中含有散度项的面积分用散度定理积分转换成体积分。然后将这些项用于估算每个有限体积表面上的通量。由于进入给定体积元的通量与转移出相邻体积元的通量相同，所以这些方法通过设计保证了质量守恒。

能量法

能量法是一种数学过程，可用于验证初始边界值问题的适定性。

在下面的示例中，将使用能量法决定应在何处施加哪些边界条件，以使得到的IBVP处于适当位置。考虑下式给出的一维双曲PDE

[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t} + \alpha \frac{\partial u}{\partial x} = 0, \quad x \in [a,b], \operatorname t \gt 0, }[/math]

其中 [math]\displaystyle{ \alpha \neq 0 }[/math] 是常数，并且 [math]\displaystyle{ u(x,t) }[/math] 是初始条件是 [math]\displaystyle{ u(x,0) = f(x) }[/math]的未知函数，乘以 [math]\displaystyle{ u }[/math] 并在域上进行积分。

[math]\displaystyle{ \int_a^b u \frac{\partial u}{\partial t} \operatorname dx + \alpha \int _a ^b u \frac{\partial u}{\partial x} \operatorname dx = 0. }[/math]

利用这一点

[math]\displaystyle{ \int _a ^b u \frac{\partial u}{\partial t} \operatorname dx = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} \vert \vert u \vert \vert ^2 \quad \text{and} \quad \int _a ^b u \frac{\partial u}{\partial x} \operatorname dx = \frac{1}{2} u(b,t)^2 - \frac{1}{2} u(a,t)^2,. }[/math]

第二个关系中采用了分部积分法，我们可以得到

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t} \vert \vert u \vert \vert ^2 + \alpha u(b,t)^2 - \alpha u(a,t)^2 = 0. }[/math]

在这里，[math]\displaystyle{ \vert \vert \cdot \vert \vert }[/math] 表示标准的L2-正则。

对于适定性，我们要求解的能量是不增加的，即 [math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t} \vert \vert u \vert \vert ^2 \leq 0 }[/math] ，这种关系可以通过在[math]\displaystyle{ x = a }[/math]处（如果 [math]\displaystyle{ \alpha \gt 0 }[/math]）以及 [math]\displaystyle{ x = b }[/math]处（如果 [math]\displaystyle{ \alpha \lt 0 }[/math]）指定[math]\displaystyle{ u }[/math]的值来实现。这相当于只在流入处附加边界条件。注意，适定性允许在数据项(初始和边界)上的增长，因此它足以表明当所有数据设置为零时应有 [math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t} \vert \vert u \vert \vert ^2 \leq 0 }[/math]。

另见

狄利克雷边界条件 Dirichlet boundary condition

射流丛 Jet bundle

微分方程中的拉普拉斯变换 Laplace transform applied to differential equations

矩阵微分方程 Matrix differential equation

诺伊曼边界条件 Neumann boundary condition

数值偏微分方程 Numerical partial differential equations

偏微分代数方程 Partial differential algebraic equation

递推关系 Recurrence relation

罗宾边界条件 Robin boundary condition

随机过程和边值问题 Stochastic processes and boundary value problems

参考文献

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进一步阅读

Cajori, Florian (1928). "The Early History of Partial Differential Equations and of Partial Differentiation and Integration" (PDF). The American Mathematical Monthly. 35 (9): 459–467. doi:10.2307/2298771. Archived from the original (PDF) on 2018-11-23. Retrieved 2016-05-15.

外部链接

Partial Differential Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Partial Differential Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Partial Differential Equations: Methods at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Example problems with solutions at exampleproblems.com

Partial Differential Equations at mathworld.wolfram.com

Partial Differential Equations with Mathematica

Partial Differential Equations in Cleve Moler: Numerical Computing with MATLAB

Partial Differential Equations at nag.com

Sanderson, Grant (April 21, 2019). "But what is a partial differential equation?". 3Blue1Brown – via YouTube.

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