辛普森悖论

辛普森悖论 Simpson's paradox是一个统计学悖论。它是以Edward H. Simpson的名字命名的，他是一位英国统计学家，在1951年第一次描述了它。统计学家卡尔·皮尔森在1899年描述了一个非常相似的效应。- Udny Yule 的描述可以追溯到1903年。有时，这种现象被称为“尤尔-辛普森效应”。当观察小组的统计分数时，这些分数可能会发生变化，这取决于小组是逐一观察，还是将它们合并成一个更大的小组。这种情况经常发生在社会科学和医学统计中。如果用频率数据来解释因果关系，人们可能会感到困惑。悖论的其他名称还包括反转悖论和合并悖论.

样例：肾结石治疗

这是一个真实的例子，来自一项医学研究，比较两种治疗肾结石的成功率。

下表显示了治疗小肾结石和大肾结石的成功率和治疗次数，其中治疗A包括所有开放手术，治疗B是经皮肾镜取石术:

	治疗方案A		治疗方案B
	成功	失败	成功	失败
小肾结石	第一组		第二组
患者数量	81	6	234	36
	93%	7%	87%	13%
大肾结石	第三组		第四组
患者数量	192	71	55	25
	73%	27%	69%	31%
既有小肾结石也有大肾结石	第一组和第三组		第二组和第四组
患者数量	273	77	289	61
	78%	22%	83%	17%

一个自相矛盾的结论是，A疗法对小结石更有效，对大结石也更有效，而B疗法在同时考虑两种大小时更有效。在这个例子中，还不知道肾结石的大小会影响结果。这在统计学中称为隐藏变量(或隐藏变量)。

哪种治疗方法更好是由两个比率(成功率/总成功率)之间的不平等决定的。造成辛普森悖论的两个比率之间不平等的逆转，是因为两种效应同时发生:

1、当忽略隐藏变量时，组的大小是非常不同的。医生倾向于对严重的病例(大结石)给予较好的治疗(A) ，对较轻的病例(小结石)给予较差的治疗(B)。因此，总数由第三组和第二组支配，而不是由规模小得多的第一组和第四组支配。

2、潜伏变量对比率有很大的影响，也就是说成功率更多地受到病情严重程度的影响，而不是治疗方法的选择。因此，治疗 A组(第三组)大结石患者的情况比治疗小结石患者差，即使后者采用劣等治疗 B 组(第二组)。

避免辛普森悖论

混杂变量

在上述的事例中，出现辛普森悖论的很大一个原因是由于存在隐藏变量，因此这便提醒我们，在进行变量设计时，一是要尽量多查阅文献以了解自变量，因变量及其他重要变量之间的关系，二是需要相关的经验，能够敏锐的察觉到某个变量的重要性。

这个重要潜伏变量指的是与实验分析的因果都有关系的变量，这一变量的缺失可能会掩盖或颠倒研究变量的原有关系。

比如在录取率这个例子中，专业既与录取率有关，不同专业难度不同，录取率自然有差异，又与性别有关，女生和男生趋向报考的专业不同。因此专业就是一个重要潜伏变量。

样本选择偏差

某些研究在变量设计上用心良苦，但却忽略了抽取样本的代表性。关于抽烟和肺癌两者相关性的研究想必大家都有所耳闻，有些实验在进行简单二元分析后得出抽烟和患肺癌没有相关性，从而得出抽烟对身体没有危害甚至有益身体的结论，但当增加一个变量，例如性别时，我们却又发现抽烟不论是对男女都有一定程度的危害。这个例子其实涉及幸存者的问题，但更大的原因是由于样本抽取不科学，存在抽样选择性误差。

这警醒我们，在进行抽样调查时应学会选择合适的抽样方法或多种抽样方法并存，保证抽取的样本处于远离极端范围的中间区域即可。同时在进行非比例抽样时，应考虑权重的问题。

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