辛普森悖论
辛普森悖论 Simpson's paradox是一个统计学悖论。它是以Edward H. Simpson的名字命名的，他是一位英国统计学家，在1951年第一次描述了它[1]。统计学家卡尔·皮尔森在1899年描述了一个非常相似的效应[2]。- Udny Yule 的描述可以追溯到1903年[3]。有时，这种现象被称为“尤尔-辛普森效应”。当观察小组的统计分数时，这些分数可能会发生变化，这取决于小组是逐一观察，还是将它们合并成一个更大的小组。这种情况经常发生在社会科学和医学统计中[4]。如果用频率数据来解释因果关系[5]，人们可能会感到困惑。悖论的其他名称还包括反转悖论和合并悖论[6].
该悖论指出：会存在着这样的数据。总体上的统计结果与其每一个子部分的统计结果相反。下附几个样例进行解释：
例1：肾结石治疗
这是一个真实的例子，来自一项医学研究[7]，比较两种治疗肾结石的成功率[8]。
下表显示了治疗小肾结石和大肾结石的成功率和治疗次数，其中治疗A包括所有开放手术，治疗B是经皮肾镜取石术:
| 治疗方案A | 治疗方案B | |||
|---|---|---|---|---|
| 成功 | 失败 | 成功 | 失败 | |
| 小肾结石 | 第一组 | 第二组 | ||
| 患者数量 | 81 | 6 | 234 | 36 |
| 93% | 7% | 87% | 13% | |
| 大肾结石 | 第三组 | 第四组 | ||
| 患者数量 | 192 | 71 | 55 | 25 |
| 73% | 27% | 69% | 31% | |
| 既有小肾结石也有大肾结石 | 第一组和第三组 | 第二组和第四组 | ||
| 患者数量 | 273 | 77 | 289 | 61 |
| 78% | 22% | 83% | 17% | |
一个自相矛盾的结论是，A疗法对小结石更有效，对大结石也更有效，而B疗法在同时考虑两种大小时更有效。在这个例子中，还不知道肾结石的大小会影响结果。这在统计学中称为隐藏变量(或隐藏变量)。
哪种治疗方法更好是由两个比率(成功率/总成功率)之间的不平等决定的。造成辛普森悖论的两个比率之间不平等的逆转，是因为两种效应同时发生:
- 1、当忽略隐藏变量时，组的大小是非常不同的。医生倾向于对严重的病例(大结石)给予较好的治疗(A) ，对较轻的病例(小结石)给予较差的治疗(B)。因此，总数由第三组和第二组支配，而不是由规模小得多的第一组和第四组支配。
- 2、潜伏变量对比率有很大的影响，也就是说成功率更多地受到病情严重程度的影响，而不是治疗方法的选择。因此，治疗 A组(第三组)大结石患者的情况比治疗小结石患者差，即使后者采用劣等治疗 B 组(第二组)。
样例2：伯克利大学的招生歧视悖论
最著名的辛普森悖论的实例，就是1973年加利福尼亚大学伯克利分校性别歧视案的例子。
如果只看整体录取率，那么男生的录取率是44%，女生的是35%。
| 男生 | 女生 | |||
|---|---|---|---|---|
| 申请人数 | 录取人数 | 申请人数 | 录取人数 | |
| 合计 | 8442 | 44% | 4321 | 35% |
从表格可见，从整体录取率来看，男生的录取率是44%，女生的录取率是35%。从表面上看会得出结论，女生申请大学受到了歧视，但是若将数据按院系拆分，再来看每个系的录取率。
| 院系 | 男生 | 女生 | ||
|---|---|---|---|---|
| 申请人数 | 录取比例 | 申请人数 | 录取比例 | |
| A | 825 | 62% | 108 | 82% |
| B | 560 | 63% | 25 | 68% |
| C | 325 | 37% | 593 | 34% |
| D | 417 | 33% | 375 | 35% |
| E | 191 | 28% | 393 | 24% |
| F | 373 | 6% | 341 | 7% |
你可以看到，在6个院系的4个里，女生的录取率大于男生，女生只在2个院系里容易折戟。加利福尼亚大学伯克利分校的统计学教授 Peter Bickel 后来发现，如果按照这样的分类，女生实际上比男生的录取率还高一点点。
Bickel 认为，在这个案例中，辛普森悖论出现的原因是，女生更愿意申请那些竞争压力很大的院系（比如英语系），但是男生却更愿意申请那些相对容易进的院系（比如工程学系）
佛罗里达死刑悖论
1991年，科罗拉多大学的统计学家 Michael L. Radelet 和东北大学的社会学研究院主任 Glenn Pierce 重新查看了1976-1987年间美国佛罗里达州的谋杀案的审判数据，发现了重大的司法不公正事件。
从归总的数据来看，佛罗里达的法官在审判的时候并没有偏向白人，因为白人嫌疑人的死刑率甚至还比黑人高一些。
| 嫌疑人种族 | 死刑人数 | 非死刑人数 | 死刑百分比% |
|---|---|---|---|
| 白人 | 53 | 430 | 11 |
| 黑人 | 15 | 176 | 7.9 |
但是按照被害人的种族来分割数据的话，就会看到很不一样的结论，黑人比白人更容易被判死刑。
| 被害人种族 | 嫌疑人种族 | 死刑人数 | 非死刑人数 | 死刑百分比% |
|---|---|---|---|---|
| 白人 | 白人 | 53 | 414 | 11.3 |
| 白人 | 黑人 | 11 | 37 | 22.9 |
| 黑人 | 白人 | 0 | 16 | 0 |
| 黑人 | 黑人 | 4 | 139 | 2.8 |
由此可见不管被害人是什么种族，黑人比白人更有可能被判死刑，并且对比发现，如果受害人是白人，那么嫌疑人就更容易被判死刑。如果被害人是黑人，嫌疑人被判死刑的可能性很低。可见种族歧视是存在的
避免辛普森悖论
混杂变量
在上述的事例中，出现辛普森悖论的很大一个原因是由于存在隐藏变量，因此这便提醒我们，在进行变量设计时，一是要尽量多查阅文献以了解自变量，因变量及其他重要变量之间的关系，二是需要相关的经验，能够敏锐的察觉到某个变量的重要性。
这个重要潜伏变量指的是与实验分析的因果都有关系的变量，这一变量的缺失可能会掩盖或颠倒研究变量的原有关系。
比如在录取率这个例子中，专业既与录取率有关，不同专业难度不同，录取率自然有差异，又与性别有关，女生和男生趋向报考的专业不同。因此专业就是一个重要潜伏变量。
参考文献
- ↑ Simpson, Edward H. (1951). "The Interpretation of Interaction in Contingency Tables". Journal of the Royal Statistical Society, Ser. B. 13: 238–241
- ↑ Pearson, Karl; Lee, A.; Bramley-Moore, L. (1899). "Genetic (reproductive) selection: Inheritance of fertility in man". Philosophical Translations of the Royal Statistical Society, Ser. A. 173: 534–539
- ↑ G. U. Yule (1903). "Notes on the Theory of Association of Attributes in Statistics". Biometrika. 2 (2): 121–134. doi:10.1093/biomet/2.2.121
- ↑ Clifford H. Wagner (February 1982). "Simpson's Paradox in Real Life". The American Statistician. 36 (1): 46–48. doi:10.2307/2684093. JSTOR 2684093.
- ↑ Judea Pearl. Causality: Models, Reasoning, and Inference, Cambridge University Press (2000, 2nd edition 2009). ISBN 0-521-77362-8.
- ↑ I. J. Good, Y. Mittal (June 1987). "The Amalgamation and Geometry of Two-by-Two Contingency Tables". The Annals of Statistics. 15 (2): 694–711. doi:10.1214/aos/1176350369. ISSN 0090-5364. JSTOR 2241334.
- ↑ C. R. Charig; D. R. Webb; S. R. Payne; O. E. Wickham (29 March 1986). "Comparison of treatment of renal calculi by open surgery, percutaneous nephrolithotomy, and extracorporeal shockwave lithotripsy". Br Med J (Clin Res Ed). 292 (6524): 879–882. doi:10.1136/bmj.292.6524.879. PMC 1339981. PMID 3083922.
- ↑ Steven A. Julious and Mark A. Mullee (1994-12-03). "Confounding and Simpson's paradox". BMJ. 309 (6967): 1480–1481. doi:10.1136/bmj.309.6967.1480. PMC 2541623. PMID 7804052
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