基本再生数

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水手9303讨论 | 贡献2022年6月12日 (日) 12:00的版本
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基本再生数(basic reproduction number)是传染病研究中一个重要的参量,记为R0,下面给出它的定义。考虑疾病传播的最初阶段,此时只有少数的疾病案例,其他人都是易感个体,传染病学术语中通常称为本地人口(native population)。假如,其中一个易感个体,在疾病爆发以后被感染,那么,基本再生数指的是,这个被传染的人,在他恢复之前(恢复健康,不再具有传染性),将疾病平均传染给了多少个人。例如,如果每个被感染者将疾病平均又传染给了其他两个人,则R0=2。如果有一半的人将疾病分别又传染给另一个人,而剩余的一半人没有传染给其他任何人,那么R0=1/2,依次类推。


如果R0=2,那么,每个得病的人,就会平均传染两个人,而这两个人中的每一个,又会再传染另外两个人。如此下去,每一轮,新的病例,都会加倍,从而出现指数增长规律。相反,如果R0=1/2,那么,疾病就会以指数形式衰减。R0=1,是增长和减少的分界点。因此,它也表示传播临界值(epidemic threshold),偏离此值时,疾病要么增长,要么消亡。


SIR模型为例【将特定人群的人口结构,划分为了易感染人群(S)、感染人群(R)以及移出者人群(R),通过对三种人群的动态变化的研究,来模拟流行病的发展规律】,其R0值,可以通过如下方式计算得到:


由于SIR模型中,任意时间间隔[math]\displaystyle{ \delta\tau }[/math]内,个体恢复的概率为[math]\displaystyle{ \gamma\delta\tau }[/math],不能恢复的概率为[math]\displaystyle{ 1-\gamma\delta\tau }[/math]。因此,在总时间[math]\displaystyle{ \tau }[/math]后,个体仍然处于感染状态的概率为[math]\displaystyle{ \begin{equation} \lim_{\delta\tau\to0}(1-\gamma\delta\tau)^{\tau/\delta\tau}=e^{-\gamma\tau}, \end{equation} }[/math] 同时,个体保持感染状态,然后在[math]\displaystyle{ \tau }[/math][math]\displaystyle{ \tau+d\tau }[/math]区间恢复的概率[math]\displaystyle{ p(\tau)d\tau }[/math]可以表示为上述概率与[math]\displaystyle{ \gamma d\tau }[/math]的乘积,即 [math]\displaystyle{ \begin{equation} p(\tau)d\tau=\gamma e^{-\gamma\tau}d\tau, \end{equation} }[/math] 通过上式我们得到了感染个体在恢复以前处于感染态的时间长度[math]\displaystyle{ \tau }[/math]的分布。因为,基本再生数R0指的就是,这个被传染的人,在他恢复之前,将疾病平均传染给了多少个人。所以,对于SIR模型的R0值,如果一个人在时间[math]\displaystyle{ \tau }[/math]内仍然具有传染性,则在这段时间内,与之接触的人的期望值为[math]\displaystyle{ \beta\tau }[/math]。R0的定义是针对本地人口给出的,而在本地人口中,他接触到的所有人都是易感者,他接触到的所有人,都有可能被传染。因此,[math]\displaystyle{ \beta\tau }[/math]也就是感染个体将传染的总人数。对[math]\displaystyle{ \beta\tau }[/math]中的[math]\displaystyle{ \tau }[/math]的分布取平均,就可以得到R0的平均值:[math]\displaystyle{ \begin{equation} R_0=\beta\gamma\int^\infty_0 \tau e^{-\gamma\tau}d\tau=\frac{\beta}{\gamma}. \end{equation} }[/math]



此页参考来源: 网络科学引论. M. E. J. Newman著 郭世泽 陈哲 译 电子工业出版社