基于可逆性的因果涌现理论

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GongMingkang讨论 | 贡献2024年8月6日 (二) 18:45的版本
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基于可逆性的因果涌现理论是一种量化因果涌现强度的新框架,该方法基于奇异值分解和近似动力学可逆性的概念,与基于有效信息(EI)的因果涌现理论不同。

理论

下面将定义马尔科夫链上的严格动力学可逆性,并提出了一个量化指标:近似动力学可逆性。来衡量任意马尔可夫链对严格动力学可逆性的接近程度。

什么是动力学可逆性

对于给定的马尔可夫链[math]\displaystyle{ \chi }[/math]和对应的转移概率矩阵(TPM) P ,如果P同时满足:1. P是可逆矩阵,即存在矩阵[math]\displaystyle{ P^{-1} }[/math],使得[math]\displaystyle{ PP^{-1}=I }[/math]; 2. [math]\displaystyle{ P^{-1} }[/math]也是另一个马尔可夫链[math]\displaystyle{ \chi^{-1} }[/math]的有效TPM,则[math]\displaystyle{ \chi }[/math]和P 可以称为严格动力学可逆的。

定理1

对于一个给定的马尔科夫链[math]\displaystyle{ \chi }[/math]和对应的TPM P,当且仅当P是置换矩阵的时候,P是严格动力学可逆的。

纯粹的置换矩阵在所有可能的TPM中非常稀少,所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此,需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。

考虑P的秩r,当且仅当r<N的时候,P是不可逆的;且P越退化对应着越小的r。然而,非退化(满秩)的矩阵P并不总是动力学可逆的,因为:1. 尽管[math]\displaystyle{ P^{-1} }[/math]存在,但[math]\displaystyle{ P^{-1} }[/math]并不一定是满足归一化条件(P的第i行向量[math]\displaystyle{ P_{i} }[/math]的第一范数应该为1)的合法TPM。2. 如前所述,若P满足动力学可逆性,则P必为置换矩阵。

一个重要的观察是:所有置换矩阵的行向量都是one-hot向量(即只有一个元素是1,其余元素均为零)。这一特性可以被矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数(Frobenius norm)刻画。事实上,当且仅当P的行向量是one-hot向量的时候,矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此,我们可以借由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数共同定义P的近似动力学可逆性。

首先,矩阵的秩可以被写作:

[math]\displaystyle{ r=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{0} }[/math]

其中[math]\displaystyle{ \sigma_{i} }[/math]是矩阵P的第i个奇异值。

紧接着,矩阵的弗罗贝尼乌斯范数可以被写作:

[math]\displaystyle{ {||P||}_{F}^{2}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{2} }[/math]

这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和弗罗贝尼乌斯范数都与奇异值相联系。

近似动力学可逆性

下面定义矩阵P的近似动力学可逆性:

假设马尔科夫链的概率转移矩阵为P,奇异值为[math]\displaystyle{ (\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{N}\ge0) }[/math],那么矩阵P的[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]阶近似动力学可逆性定义为:

[math]\displaystyle{ \Gamma_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha} }[/math]

其中[math]\displaystyle{ \alpha\in(0,2) }[/math]是参数。

实际上,当[math]\displaystyle{ \alpha\ge1 }[/math]时,[math]\displaystyle{ \Gamma_{\alpha} }[/math]是P的沙滕范数(Schatten norm);当[math]\displaystyle{ 0\lt \alpha\lt 1 }[/math]时,[math]\displaystyle{ \Gamma_{\alpha} }[/math]是P的准范数(quasinorm)。

使用这个定义来刻画近似动力学可逆性是合理的,因为完全动力学可逆性可以通过最大化[math]\displaystyle{ \Gamma_{\alpha} }[/math]来得到。

定理2

决定性和简并性

归一化及例子

[math]\displaystyle{ \Gamma_{\alpha} }[/math]和EI的联系

定理3

定理4

一种新的因果涌现量化方法