马尔科夫链的粗粒化
我们先简单回顾一下马尔科夫矩阵是什么。它是一种square matrix，行列数一样，且满足每一行和为1的条件。
而马尔科夫链指的是一个n维的状态的序列$\{x_t\ = 1, ..., n\}_{t}$，每一步的状态转换都有马尔科夫矩阵$M$决定，即$x_{t+1} = M x_t$.
M的每一行对应的每个状态转移到其他状态的概率。比如当$x_t$等于第一个状态的时候，M的第一行展示了$x_{t+1}$状态的概率。
那对马尔科夫链做粗粒化做粗粒化的意义是什么呢？我们看到文献中着重强调这两点：
- 有些状态的转移概率非常相似，所以可以被看成同一类状态，对这种马尔科夫链做partitioning可以减少系统表示的冗余性；
- 在用到马尔科夫决策过程的强化学习里，对马尔科夫链做粗粒化可以减少状态空间的大小，提高训练效率。
马尔科夫链的粗粒化可以分成Hard partitioning和Soft partitioning。Hard partitioning是指把若干个微观状态分成一个宏观状态类，且一个微观状态不能同时属于多个宏观状态类，而soft partitioning则会有可能出现这种情况。
我们这里主要讨论hard partitioning，主要参考的是Anru Zhang and Mengdi Wang的Spectral State Compression of Markov Processes。
首先讨论的是一个马尔科夫矩阵的rank秩。
大家理解的线代里的rank秩的定义是看矩阵中的线性无关的行向量的数量，但是这里对秩的理解是从一种类似于信道的概念。
秩的定义为我们能找到的一组概率密度函数 f1, . . . , fr, g1, . . . , gr，使得r在下列公式里最小。
$$
P(X_{t+1} | X_{t}) = \sum^r_{k=1} f_k(X_t) g_k(X_{t+1})
$$
这里的秩的意思是，我们能多大程度上压缩信道，使得信息在宽度为秩的信道中无损传递。
在n个离散状态的马尔科夫矩阵中，f1, . . . , fr, g1, . . . , gr 是维度为n的矩阵。
而我们能定义r × r的markov kernel $C = {Cij = \sum_{p=1}^k f_j(k)g_i(k)\}$
而且$f1, . . . , fr$ 为 left Markov features，$\{g1, . . . , gr\}$ 为 right Markov features.