伪逆

在数学中，特别是在线性代数领域，矩阵[math]\displaystyle{ A }[/math]的摩尔-彭罗斯逆[math]\displaystyle{ A^+ }[/math]（通常称为伪逆）是最广为人知的逆矩阵推广形式。这一概念是由E. H. 摩尔在1920年、阿尔内·比耶哈马尔在1951年以及罗杰·彭罗斯在1955年独立提出的。更早些时候，埃里克·伊瓦尔·弗雷德霍姆在1903年就已经引入了积分算子的伪逆概念。"伪逆"和"广义逆"这两个术语有时被用作矩阵摩尔-彭罗斯逆的同义词，但有时也用于描述代数结构中那些仅具备逆元部分性质的其他元素。

伪逆的一个常见应用是计算线性方程组的"最佳拟合"（最小二乘）近似解，特别是当方程组没有精确解时。另一个重要应用是在具有多个解的线性方程组中找到最小（欧几里得）范数解。伪逆的概念使得线性代数中许多结果的表述和证明变得更加便捷。

我们可以为所有具有实数或复数元素的矩形矩阵定义伪逆。对于给定的实矩阵或复矩阵，其伪逆是唯一的。我们可以通过奇异值分解来计算伪逆。在特殊情况下，如果[math]\displaystyle{ A }[/math]是正规矩阵（例如厄米特矩阵），则伪逆[math]\displaystyle{ A^+ }[/math]会消去[math]\displaystyle{ A }[/math]的核空间，并在与核空间正交的子空间上作为[math]\displaystyle{ A }[/math]的传统逆矩阵。