基向量

在数学中，向量空间[math]\displaystyle{ V }[/math]中的一个向量集合[math]\displaystyle{ B }[/math]被称为基（复数：基底），如果[math]\displaystyle{ V }[/math]中的每个元素都可以唯一地表示为[math]\displaystyle{ B }[/math]中元素的有限线性组合。在这个线性组合中的系数被称为向量相对于基[math]\displaystyle{ B }[/math]的分量或坐标。基中的元素则被称为基向量。

等价地说，如果一个集合[math]\displaystyle{ B }[/math]的元素是线性无关的，并且[math]\displaystyle{ V }[/math]中的每个元素都可以表示为[math]\displaystyle{ B }[/math]中元素的线性组合，那么这个集合就是一个基。换句话说，基就是一个线性无关的张成集。

一个向量空间可以有多个基，但所有这些基都具有相同数量的元素，这个数量被称为向量空间的维数。

虽然本文主要讨论有限维向量空间，但其中许多原理对无限维向量空间同样适用。

基向量在晶体结构研究和参考系理论中都有重要应用。

对于向量空间[math]\displaystyle{ V }[/math]中的任意向量[math]\displaystyle{ v }[/math]，我们都可以将其唯一地表示为：

[math]\displaystyle{ v = \sum_{i=1}^n c_i b_i }[/math]

其中[math]\displaystyle{ b_i }[/math]是基向量，而[math]\displaystyle{ c_i }[/math]则是向量[math]\displaystyle{ v }[/math]相对于这个基的坐标。