极分解

对于一个实方阵或复方阵[math]\displaystyle{ A }[/math]，其极分解是一种形如[math]\displaystyle{ A = UP }[/math]的因式分解，其中[math]\displaystyle{ U }[/math]是酉矩阵，[math]\displaystyle{ P }[/math]是半正定的厄米矩阵（在实数情况下，[math]\displaystyle{ U }[/math]是正交矩阵，而[math]\displaystyle{ P }[/math]是半正定对称矩阵），两者都是相同大小的方阵。

当我们将一个实[math]\displaystyle{ n \times n }[/math]矩阵[math]\displaystyle{ A }[/math]解释为[math]\displaystyle{ n }[/math]维空间[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]上的线性变换时，极分解将其分离成[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]空间的一个旋转或反射[math]\displaystyle{ U }[/math]，以及沿着[math]\displaystyle{ n }[/math]个正交轴的空间缩放。

方阵[math]\displaystyle{ A }[/math]的极分解总是存在的。如果[math]\displaystyle{ A }[/math]是可逆的，那么这个分解是唯一的，并且因子[math]\displaystyle{ P }[/math]将是正定的。在这种情况下，[math]\displaystyle{ A }[/math]可以唯一地写成形式[math]\displaystyle{ A = Ue^X }[/math]，其中[math]\displaystyle{ U }[/math]是酉矩阵，而[math]\displaystyle{ X }[/math]是矩阵[math]\displaystyle{ P }[/math]的唯一自伴随对数。

极分解也可以定义为[math]\displaystyle{ A = P'U }[/math]，其中[math]\displaystyle{ P' = UPU^{-1} }[/math]是一个对称正定矩阵，它与[math]\displaystyle{ P }[/math]具有相同的特征值但具有不同的特征向量。

矩阵的极分解可以看作是复数极形式的矩阵类比。就像复数[math]\displaystyle{ z }[/math]可以表示为[math]\displaystyle{ z = ur }[/math]的形式，其中[math]\displaystyle{ r }[/math]是它的绝对值（一个非负实数），而[math]\displaystyle{ u }[/math]是一个模为1的复数（圆群的一个元素）。

定义[math]\displaystyle{ A = UP }[/math]可以推广到矩形矩阵[math]\displaystyle{ A \in \mathbb{C}^{m \times n} }[/math]，此时要求[math]\displaystyle{ U \in \mathbb{C}^{m \times n} }[/math]是半酉矩阵，而[math]\displaystyle{ P \in \mathbb{C}^{n \times n} }[/math]是半正定的厄米矩阵。这种分解总是存在的，并且[math]\displaystyle{ P }[/math]总是唯一的。矩阵[math]\displaystyle{ U }[/math]是唯一的，当且仅当[math]\displaystyle{ A }[/math]是满秩的。