列空间

在线性代数中，矩阵[math]\displaystyle{ A }[/math]的列空间（也称为值域或像）是指其列向量所张成的空间（即所有可能的线性组合构成的集合）。矩阵的列空间就是对应矩阵变换的像或值域。

设[math]\displaystyle{ F }[/math]是一个域。一个元素来自[math]\displaystyle{ F }[/math]的[math]\displaystyle{ m \times n }[/math]矩阵的列空间是m维空间[math]\displaystyle{ F^m }[/math]的一个线性子空间。列空间的维数被称为矩阵的秩，其大小不超过[math]\displaystyle{ \min(m, n) }[/math]。这个定义同样可以推广到环[math]\displaystyle{ R }[/math]上的矩阵。

行空间的定义与此类似。

矩阵[math]\displaystyle{ A }[/math]的行空间和列空间有时分别记作[math]\displaystyle{ C(A^T) }[/math]和[math]\displaystyle{ C(A) }[/math]。

本文主要讨论实数矩阵。其行空间和列空间分别是实空间[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]和[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^m }[/math]的子空间。

对于矩阵[math]\displaystyle{ A }[/math]，我们可以将其列空间表示为：

[math]\displaystyle{ C(A) = {\mathbf{Ax} : \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n} }[/math]

或等价地：

[math]\displaystyle{ C(A) = \text{span}{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, ..., \mathbf{a}_n} }[/math]

这里[math]\displaystyle{ \mathbf{a}_i }[/math]表示矩阵[math]\displaystyle{ A }[/math]的第i列。