正规矩阵

在数学中，如果一个复方阵[math]\displaystyle{ A }[/math]与其共轭转置[math]\displaystyle{ A^* }[/math]可交换，我们就称它为正规矩阵：

[math]\displaystyle{ A \text{ normal} \iff A^*A = AA^* }[/math]

正规矩阵的概念可以推广到无限维赋范空间上的正规算子，以及C*-代数中的正规元素。正如矩阵的情况一样，在非交换的环境中，正规性意味着在可能的范围内保持着交换性。这使得正规算子和C*-代数中的正规元素更容易进行分析。

谱定理指出，一个矩阵是正规的，当且仅当它与某个对角矩阵酉相似，因此任何满足方程[math]\displaystyle{ A^*A = AA^* }[/math]的矩阵[math]\displaystyle{ A }[/math]都是可对角化的。（反之并不成立，因为可对角化矩阵可能具有非正交的特征子空间。）因此我们有： [math]\displaystyle{ A = UDU^* }[/math]且[math]\displaystyle{ A^* = UD^*U^* }[/math]，其中[math]\displaystyle{ D }[/math]是一个对角矩阵，其对角线上的元素一般是复数。

在正规矩阵[math]\displaystyle{ A = UDV^* }[/math]的奇异值分解中，左右奇异向量之间，以及它们与对应特征向量之间，仅相差一个复数相位，这是因为在形成奇异值时必须将特征值的相位因子分离出来。