特征向量

在线性代数中，特征向量（或本征向量）是指在给定线性变换下方向保持不变（或反向）的向量。更准确地说，线性变换[math]\displaystyle{ T }[/math]的特征向量[math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math]在该线性变换作用下只会被一个常数因子[math]\displaystyle{ \lambda }[/math]所缩放：[math]\displaystyle{ T\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} }[/math]。这个相应的缩放因子[math]\displaystyle{ \lambda }[/math]（可能为负）就被称为特征值、特征根或本征值。

从几何角度来看，向量是具有大小和方向的多维量，通常用箭头表示。线性变换会对其作用的向量进行旋转、拉伸或剪切。特征向量就是那些在变换下只发生拉伸而不发生旋转或剪切的向量。相应的特征值就是特征向量被拉伸或压缩的倍数。如果特征值为负，则特征向量的方向会发生反转。

线性变换的特征向量和特征值能够刻画该变换的本质特征，因此它们在线性代数的所有应用领域中都发挥着重要作用，从地质学到量子力学都是如此。特别地，在许多情况下，一个系统可以用线性变换来表示，而该变换的输出又会作为同一变换的输入（反馈）。在这种应用中，最大特征值尤其重要，因为它决定了系统在多次应用线性变换后的长期行为，而相应的特征向量则代表了系统的稳态。