有界算子

在泛函分析和算子理论中，有界线性算子是指在拓扑向量空间（TVS）[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]之间的一种线性变换[math]\displaystyle{ L:X\to Y }[/math]，它能将[math]\displaystyle{ X }[/math]中的有界子集映射到[math]\displaystyle{ Y }[/math]中的有界子集。特别地，当[math]\displaystyle{ X }[/math]和[math]\displaystyle{ Y }[/math]是赋范向量空间（这是一种特殊的拓扑向量空间）时，算子[math]\displaystyle{ L }[/math]是有界的，当且仅当存在某个正实数[math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]，使得对所有的[math]\displaystyle{ x\in X }[/math]都有： [math]\displaystyle{ |Lx|{Y}\leq M|x|{X}. }[/math]

满足上述不等式的最小[math]\displaystyle{ M }[/math]值被称为算子[math]\displaystyle{ L }[/math]的算子范数，记作[math]\displaystyle{ |L| }[/math]。研究表明，在赋范空间之间，一个线性算子有界与连续是等价的性质。

数学家们已经将有界线性算子的概念从赋范空间推广到所有拓扑向量空间，这极大地扩展了这一理论的应用范围。

需要特别注意的是，在泛函分析之外的数学领域中，当说一个函数[math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]是"有界的"时，通常是指它的像集[math]\displaystyle{ f(X) }[/math]在余定义域中是有界子集。对于线性映射来说，具有这种性质当且仅当它是零映射[math]\displaystyle{ 0 }[/math]。因此，在泛函分析中，当我们说一个线性算子是"有界的"时，绝不是指这种抽象意义上的有界性（即具有有界像集）。