贝当古城市模型

贝当古城市模型是由2013年贝当古提出的，用于解释城市规模标度律的机制模型。

城市中的规模标度律

城市的规模标度律是指城市的属性和城市规模存在[math]Y=cN^{\beta}[/math]的关系。按照幂指数[math]\beta[/math]的大小可以将城市的属性分成三类：与人的交互相关的属性和城市规模的超线性关系（幂指数约为1.15），如城市GDP，创新和财富的创造等；基础建设和城市规模的亚线性关系（幂指数约为0.85），如城市加油站的数量，道路的面积等；还有一类和家庭相关，和城市的规模是线性关系，如房屋的数量，用电量等等（如图1）。城市的规模标度律在许多数据集中都得到了验证，体现了在城市的多样性背后的统一性，暗示了城市动力学的普适机制。更加详细的内容可以参考城市中的规模标度律。

贝当古城市模型

贝当古提出了一个在理论上统一的定量理论，用于解释城市标度律的起源。在贝当古21年出版的书中，他将其总结为以下四个步骤

Bettencourt, L. (2021). Introduction to Urban Science.

这一模型的基本思路是，城市中各种规模标度律的出现，来源于城市产出和成本的平衡。而产出来源于人与人之间的交互，成本则来源于人们为了交互所需要跨越的距离成本。

基础模型

首先我们先考虑一个城市的人口数量为N，面积为A，那么可以得到城市的人口密度[math]n=N/A[/math]。

其次，我们再考虑人和人的交互在模型中的设置。首先所有的交互都是在一个局部发生（而不是长程交互），这就意味着交互会受到空间上距离的约束，我们设一次交互发生在面积为[math]a_0[/math]的区域。交互可以有不同的类型，可以是带来正向结果的交互（如带来社会产出等），也可以是负向的影响（如带来犯罪等）。其次，所有的交互都是在城市的基础设施网络，尤其上道路网络上发生。所以道路网络是交互发生的场所和载体。所以一个人的移动长度如果为[math]l[/math]，那么一个人可以产生的交互数量就可以记为这个人的可以发生交互的区域[math]a_0l[/math]，乘上人口密度[math]n=N/A[/math]

接着我们考虑引入产出系数[math]\bar{g}[/math]，代表了每次交互的社会产出。所以一个人社会产出可以记为[math]\bar{g}a_0l N/A[/math]，最终可以得到社会的总产出为[math]Y=G\frac{N^2}{A}[/math]，其中[math]G=\bar{g}a_0l[/math]

另一个关键设置是人口在城市中充分交互。这意味着每个人的交互成本c是正比于城市横向尺寸L的，即[math]c \sim L \sim A^{1/2}[/math]。比如电力网络的搭建就是一个典型的成本，要使得电力输送给每个人，需要的总成本是[math]T \sim LN \sim N \sqrt{A}[/math]

我们根据供需平衡的条件[math]Y \sim T[/math]就能得到城市运作的基线

[math]\displaystyle{ A \sim N^{2/3} }[/math]

[math]\displaystyle{ Y \sim N^{4/3} }[/math]

但以上的分析实际上会高估产出，低估成本。因为真正用于交互的道路长度L应该是道路面积的开根号[math]L \sim A_n^{1/2}[/math]，而不是和城市面积的开根号[math]L \sim {A^{1/2}[/math]。所以上述公式的[math]A \sim N^{2/3}[/math]是城市面积和人口的增长关系。要想得到产出更精确的规模关系，就需要对模型作进一步的修正。尤其需要修正的重点是：人们交互的空间应该是道路空间，而不是整个城市空间。

修正模型

基于以上的设置，一个更为现实的模型如下。它有四个基本的假设

假设1：人口充分混合。

同样要求城市中的人口可以充分在城市中移动和交互，即每个人的交互成本c正比于城市横向尺寸L。只不过如前文所说，现在的L是和道路面积有关，也就是[math]c \sim L \sim A_n^{1/2}[/math]。

假设2：网络增长。

这一假设要求基础建设网络要随着人口的增加而增长，最终会形成一个去中心化的网络。可以得到人们之间的平均距离和人口密度有关，[math]d=n^{-1/2} = (A/N)^{1/2}[/math]. 而且这个距离和人均基建网络的长度相等。假设网络的宽度是一个常数，所以平均距离d也正比于人均道路面积，最终可以得到 [math]d = (A/N)^{1/2} \sim A_n/N[/math]。 那么道路面积可以表示为[math]A_n \sim A^{1/2}N^{1/2}[/math]。

假设3：有限的人类社会能力。

这一假设要求了在平均意义上，每个人在每一次的交互中，对应的社会产出恒定的，也就是G是独立于人口规模N。观察G的表达式发现，这约束实际上是对人均产出和人均道路面积（成本）乘积的限制。如果你的产出越高，那么你所需要的交互面积也就越小。所以可以认为，这一假设背后实际上是约束了社会的科技和生产力水平不变。可以想象，如果科技水平提高，那么一定会让G也增大。

假设4：社会经济产出正比于局部社会交互。

这一假设是在说，城市的GDP可以看做是人们进行社会交互的结果，所以社会产出和交互数量是成比例的关系。其实和原始的模型一样，通过引入一个交互产出系数G，使得交互可以转化为产出。同样的，我们需要把交互放在道路网络空间，即 [math]Y \sim GN^2/A_n[/math]。

那根据这些以上这些假设，同样根据供需平衡[math]Y \sim T[/math]，我们就可以推导出新的规模关系

[math]\displaystyle{ A_n \sim N^{5/6} }[/math]

[math]\displaystyle{ Y \sim N^{7/6} }[/math]

而新的指数也和开篇提到的实证数据相比非常吻合。下图分别展示了美国2006年的道路网络（左），GDP（右）和人口数量的关系。在双对数下斜率分别约为0.849和1.126：

到目前为止，所谓的机制模型其实完全没有基建网络如何构建的细节，只有一些基本的宏观原则。所以，接下来的部分，就进入了贝当古模型的第二个模块，通过一个层级化的基建网络模型，目的是试图为城市规划等问题提供实质的理论指导。

层级模型

在贝当古模型中，城市的道路网络被假设为是一个层级化的分形网络，越底层的分支路面越窄。网络的每一层都对应着b个下一层的分支数。于是，整个道路网络就被构造成了一个规则的树状结构，分叉数为b，如下图所示

这棵树每一层的节点数量为[math]N_i = b^i[/math]。这里我们将最底层的节点定义为人口，也就是给出了边界条件[math]N_h = b^h = N[/math]。那么每一层的节点[math]N_i[/math]就可以理解为对应层级的道路可以覆盖的人口。而且根据当前的条件， 我们可以推出[math]h = lnN/lnb[/math]

进一步，假设每个层级之间的道路总长度的比[math]l_i/l_{i+1}[/math]，和道路宽度比值[math]s_i/s_{i+1}[/math]都是常数。而且这两个变量比值大小（可以记为[math]s_i/s_{i+1} = b_s[/math]和[math]l_i/l_{i+1} = b_l[/math]）也必定是和b有关。

首先，假设最微观的道路宽度是和城市规模无关的，设为[math]s_h = s_*[/math]。那么，边界条件可以这么定义：最底层的道路肯定是要触达城市中的所有人群的，所以可以认为第h层的道路总面积[math]l_h s_*[/math]就是城市的面积，而因为宽度和规模无关，所以有[math]l_h \sim A \sim N^{2/3}[/math]，进而可以得到[math]b_l = b^{1/3}[/math]。那根据等比数列求和，最后我们可以得到道路总长度[math]L[/math]和规模的关系为:

[math]\displaystyle{ L \sim N^{2/3} }[/math]

与此类似，

城市效率评价

最后，贝当古还根据这些基本的推论讨论了城市的运行效率问题。虽然城市的总产出和总的能量消耗满足相同的幂指数规模法则。然而，这并不意味着两者一定严格相等，事实上，由于它们的规模法则系数[math]Y_0[/math]和[math]W_0[/math]可能取不同的数值，所以[math]Y[/math]和[math]W[/math]也可能不相等。我们尅定义城市运行效率E等于总产出与能量消耗的差额，即

[math]\displaystyle{ E = Y - W = (Y_0-W_0)N^{\beta} }[/math]

显然，如果一个城市增加产出，或者通过优化基础建设网络减少能耗，都能提高城市运行的效率。影响E的主要就是[math]Y_0[/math]和[math]W_0[/math]的大小，而二者都是[math]G[/math]的函数。隐私，可以考虑调整[math]G[/math]来优化城市的净产出

贝当古计算出能够让城市净产出达到最大的最优[math]G[/math]值，记为[math]G^*[/math]，并对美国各大城市的[math]G[/math]和[math]G^*[/math]进行了对比，发现加州的滨河市、德州的布朗斯维尔市效率相对底下（即[math]G[/math]远低于[math]G^*[/math]）。对此，贝当古给出建议：城市规划者可以考虑提高人口的流动性或者人口密度。另一个极端是康涅狄格周的布里奇波特市，它的[math]G[/math]远大于[math]G^*[/math]，这样的城市经济功能和基础设施已经充分发展，然而由于交通成本过高，经济产出方面的优势没有发挥出来。

总的来看，贝当古基于城市产出与交通成本的相互平衡给出了一个对城市建模的基本框架，在这一框架下我们可以推导出各种变量的规模法则。层级化道路网络模型是在这一框架下构建的一个具体模型，我们可以精确计算出它在各个等级的道路长度、道路面积、车流量、能耗等指标。更多详情可以参考原文