贝当古城市模型

贝当古城市模型是由2013年贝当古提出的，用于解释城市规模标度律的机制模型。

城市中的规模标度律

城市的规模标度律是指城市的属性和城市规模存在[math]Y=cN^{\beta}[/math]的关系。按照幂指数[math]\beta[/math]的大小可以将城市的属性分成三类：与人的交互相关的属性和城市规模的超线性关系（幂指数约为1.15），如城市GDP，创新和财富的创造等；基础建设和城市规模的亚线性关系（幂指数约为0.85），如城市加油站的数量，道路的面积等；还有一类和家庭相关，和城市的规模是线性关系，如房屋的数量，用电量等等（如图1）。城市的规模标度律在许多数据集中都得到了验证，体现了在城市的多样性背后的统一性，暗示了城市动力学的普适机制。更加详细的内容可以参考城市中的规模标度律。

贝当古城市模型

贝当古提出了一个在理论上统一的定量理论，用于解释城市标度律的起源。在贝当古21年出版的书中，他将其总结为以下四个步骤

下面，我们就来依次介绍这四个步骤。

1. 基础模型-无组织的定居模型

• 首先我们考虑一个人口在城市空间内随机分布的模型，城市的人口数量为N，面积为A，人们在空间中自由移动，就像是理想气体分子。（如图）

可以得到城市的人口密度[math]n=N/A[/math]

• 其次，我们考虑每个人在空间中充分移动，设移动成本和距离有关，即[math]c \sim R \sim A^{1/2}[/math]

可得城市的总成本为[math]T \sim LN \sim N \sqrt{A}[/math]

• 人们通过移动发生交互，设每个人在特征距离[math]l[/math]内，与一个人发生一次互动的概率为[math]a_0[/math]

可得人均交互数量[math]k = a_0l N/A[/math]

• 引入交互产出系数[math]g[/math]，即一次交互可以带来的社会产出量

得到社会产出[math]Y=gkN = ga_0l \frac{N^2}{A} = G \frac{N^2}{A}[/math]， 其中[math]G=ga_0l[/math]

• 最后考虑城市的收支平衡，即[math]Y = T[/math]，得到

[math]\displaystyle{ A \sim N^{2/3} }[/math]

[math]\displaystyle{ Y \sim N^{4/3} }[/math]

以上的分析实际上会高估产出，低估成本。因为现实的情况肯定不是人们像理想气体分子一样在空间中运动，而是移动会受到地理空间的约束。人和人的交互也是在空间约束的条件下进行的。于是就有了以下的改进

2. 城市组织的四条基本原则

基于以上的设置，一个更为现实的模型如下。它有四个基本的假设

假设1：人口充分混合。

要求每个城市居民可获取的最低资源[math]y_{min} = GN^2/A[/math]，与到达城市任何地方的成本相匹配。并且引入移动空间维数[math]H_m[\math]，即移动距离/成本和城市面积的关系为[math]c \sim A^{H_m/2}[\math]，也就是居民的移动范围定义了城市的面积，[math]H_m=1[\math]时其实就回退到了前面的版本

所以同样根据收支平衡，可以得到城市面积和人口的关系[math]A \sim N^{\frac{2}{2+H_m}}[/math]

假设2：网络增长。

这一假设要求基础建设网络要随着人口的增加而增长，以满足每个人便捷出行的需求。引入道路面积[math]A_n[\math]

可以得到：

1. 人们之间的平均距离和人口密度有关，[math]d=n^{-1/2} = (A/N)^{1/2}[/math]. 而且这个距离和人均基建网络的长度相等。

2. 假设网络的宽度是一个常数，所以平均距离d也正比于人均道路长度[math]A_n /N[/math]，最终可以得到[math]A_n \sim A^{1/2}N^{1/2}[/math]。

3. 最终可以得到道路面积和人口的关系 [math]A_n \sim N^{1-\frac{H_m}{2(2+H_m)}}[/math]。 当[math]H_m=1[\math]时，幂指数为5/6

假设3：有限的人类社会能力。

这一假设要求了在平均意义上，单位面积的交互带来的产出G，是不随城市规模变化的。即 [math]dG/dN = 0[\math]

于是可以得到每个人的社会产出 [math]y = G N/A_n[\math]

观察G的表达式发现，这约束实际上是对人均产出和人均道路面积（成本）乘积的限制。如果你的产出越高，那么你所需要的交互面积也就越小。所以可以认为，这一假设背后实际上是约束了社会的科技和生产力水平不变。可以想象，如果科技水平提高，那么一定会让G也增大。

假设4：社会经济产出正比于局部社会交互。

这条假设是说总产出是局部交互的加总，即[math]Y = ny = G \sim N^2 / A_n[\math]，当[math]H_m=1[\math]时，[math]A_n \sim N^{7/6}[\math]，其中[math]G \sim N^{\alpha}[\math]

而新的指数也和开篇提到的实证数据相比非常吻合。下图分别展示了美国2006年的道路网络（左），GDP（右）和人口数量的关系。在双对数下斜率分别约为0.849和1.126：

到目前为止，所谓的机制模型其实完全没有基建网络如何构建的细节，只有一些基本的宏观原则。所以，接下来的部分，就进入了贝当古模型的第三个模块，通过一个层级化的基建网络模型，目的是试图为城市规划等问题提供实质的理论指导。

3. 层级模型

在贝当古模型中，城市的道路网络被假设为是一个层级化的分形网络，越底层的分支路面越窄。网络的每一层都对应着b个下一层的分支数。于是，整个道路网络就被构造成了一个规则的树状结构，分叉数为b，如下图所示

这棵树每一层的节点数量为[math]N_i = b^i[/math]。这里我们将最底层的节点定义为人口，也就是给出了边界条件[math]N_h = b^h = N[/math]。那么每一层的节点[math]N_i[/math]就可以理解为对应层级的道路可以覆盖的人口。而且根据当前的条件， 我们可以推出[math]h = lnN/lnb[/math]

进一步，假设每个层级之间的道路总长度的比[math]l_i/l_{i+1}[/math]，和道路宽度比值[math]s_i/s_{i+1}[/math]都是常数。而且这两个变量比值大小（可以记为[math]s_i/s_{i+1} = b_s[/math]和[math]l_i/l_{i+1} = b_l[/math]）也必定是和b有关。

首先，假设最微观的道路宽度是和城市规模无关的，设为[math]s_h = s_*[/math]。那么，边界条件可以这么定义：最底层的道路肯定是要触达城市中的所有人群的，所以可以认为第h层的道路总面积[math]l_h s_*[/math]就是城市的面积，而因为宽度和规模无关，所以有[math]l_h \sim A \sim N^{2/3}[/math]，进而可以得到[math]b_l = b^{1/3}[/math]。那根据等比数列求和，最后我们可以得到道路总长度[math]L[/math]和规模的关系为:

[math]\displaystyle{ L \sim N^{2/3} }[/math]

与此类似，

城市效率评价

最后，贝当古还根据这些基本的推论讨论了城市的运行效率问题。虽然城市的总产出和总的能量消耗满足相同的幂指数规模法则。然而，这并不意味着两者一定严格相等，事实上，由于它们的规模法则系数[math]Y_0[/math]和[math]W_0[/math]可能取不同的数值，所以[math]Y[/math]和[math]W[/math]也可能不相等。我们尅定义城市运行效率E等于总产出与能量消耗的差额，即

[math]\displaystyle{ E = Y - W = (Y_0-W_0)N^{\beta} }[/math]

显然，如果一个城市增加产出，或者通过优化基础建设网络减少能耗，都能提高城市运行的效率。影响E的主要就是[math]Y_0[/math]和[math]W_0[/math]的大小，而二者都是[math]G[/math]的函数。隐私，可以考虑调整[math]G[/math]来优化城市的净产出

贝当古计算出能够让城市净产出达到最大的最优[math]G[/math]值，记为[math]G^*[/math]，并对美国各大城市的[math]G[/math]和[math]G^*[/math]进行了对比，发现加州的滨河市、德州的布朗斯维尔市效率相对底下（即[math]G[/math]远低于[math]G^*[/math]）。对此，贝当古给出建议：城市规划者可以考虑提高人口的流动性或者人口密度。另一个极端是康涅狄格周的布里奇波特市，它的[math]G[/math]远大于[math]G^*[/math]，这样的城市经济功能和基础设施已经充分发展，然而由于交通成本过高，经济产出方面的优势没有发挥出来。

总的来看，贝当古基于城市产出与交通成本的相互平衡给出了一个对城市建模的基本框架，在这一框架下我们可以推导出各种变量的规模法则。层级化道路网络模型是在这一框架下构建的一个具体模型，我们可以精确计算出它在各个等级的道路长度、道路面积、车流量、能耗等指标。更多详情可以参考原文