渗流阈值
渗流阈值（Percolation thresholds）是一个用于描述系统行为发生突变的临界点，在多个科学领域中具有重要意义，特别是在渗流理论（Percolationtheory）、材料科学、网络科学以及统计物理中。
在渗流理论中，渗流阈值（常用符号表示）指的是使无限系统出现从局部连接跃迁至全局连通的最小概率。当填充概率时，系统中不会出现贯通路径，而当时，出现无限集群的概率从0跃升为1，这种突变是典型的相变现象，符合所谓的零一律（0–1law）。
数学上，如果将系统建模为图，渗流模型会随机选择子集或，使得每条边或每个顶点以概率被“激活”。当时，图中几乎总是存在一条连接任意两个远点的大路径。
典型例子
粒子填充材料：在复合材料中，填料浓度达到某一渗流阈值后，材料的电导率、热导率或力学性质会发生急剧变化。
导电路径形成：电子材料中，渗流阈值对应电子通道首次贯通体系的浓度，称为导通阈值。
网络连通性：在复杂网络中，若随机移除一定比例的节点，当保留节点的比例低于阈值时，整个网络失去主连通分量，表现为系统性崩溃。
应用领域
物理学：在统计物理中研究从局部无序到全局有序的临界行为（例如：Ising模型、渗流模型）。
材料科学：设计具备特定电学或热学性能的复合材料，通过调控填充物比例控制其临界行为。
网络科学：用于衡量网络的鲁棒性，例如互联网、电网或社会网络在面对攻击时的稳定性。
生物学：在传染病模型中，流行病阈值可视为渗流模型的一种推广，描述疾病何时从局部传播变为大规模流行。
数学表示
对于贝特晶格（Bethelattice），其渗流阈值可解析为：
其中z是每个节点的平均度（配位数）。
对于二维方格的边渗流模型，HarryKesten于1982年证明：
| d | 配位数z | 点渗流 | 边渗流 |
| 2 | 4 | 0.59274601(2) | 0.5 |
| 3 | 6 | 0.3116077(4) | 0.2488126(5) |
| 4 | 8 | 0.1968861(14),0.19688561(3) | 0.1601314(13),0.16013122(6) |
| 5 | 10 | 0.1407966(15),0.14079633(4) | 0.118172(1),0.11817145(3) |
| 6 | 12 | 0.109017(2),0.109016661(8) | 0.0942019(6),0.09420165(2) |
| 7 | 14 | 0.0889511(9),0.088951121(1) | 0.0786752(3),0.078675230(2) |
| 8 | 16 | 0.0752101(5),0.075210128(1) | 0.06770839(7),0.0677084181(3) |
| 9 | 18 | 0.0652095(3),0.0652095348(6) | 0.05949601(5),0.0594960034(1) |
| 10 | 20 | 0.0575930(1),0.0575929488(4) | 0.05309258(4),0.0530925842(2) |
| 11 | 22 | 0.05158971(8),0.0515896843(2) | 0.04794969(1),0.04794968373(8) |
| 12 | 24 | 0.04673099(6),0.0467309755(1) | 0.04372386(1),0.04372385825(10) |
| 13 | 12 | 0.04271508(8),0.04271507960(10) | 0.04018762(1),0.04018761703(6) |
随着维度增加，阈值逐渐降低，表明高维系统更容易形成贯通集群。
参考资料
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