Koopman理论是一种将非线性动力系统用线性算子来分析的方法。它提出，虽然原始系统可能是非线性的，但可以通过Koopman算子作用在观测函数空间，使得系统在这个更高维的空间中变得线性。这样，使用线性分析工具（如谱分析、特征分解）就能研究复杂的非线性动态行为，大大拓展了对非线性系统的理解和建模能力。该理论广泛应用于流体力学、混沌系统和数据驱动建模等领域。
历史溯源
Koopman算子理论的发展始于20世纪30年代，首要的贡献者是B. O. Koopman和冯诺伊曼[1]。在1931年，Koopman在其论文中首次引入了算子的理念，表明通过线性算子可以描述非线性动力系统的演化，这一构想为后来的发展奠定了基础。他强调，可以将动力系统看作是在某种函数空间中的算子作用过程，这开辟了一条新的研究路径。
随后在1932年，冯诺伊曼在研究动力系统的遍历性时提出了与Koopman类似的观点。他引入了测度理论，以支持其对动力系统的研究，特别是强调了遍历性与统计行为之间的关系（von Neumann, 1932）。冯诺伊曼的研究表明，在某些条件下，动力系统的长期行为可以通过遍历理论进行描述，进一步增强了对非线性系统分析的工具。
这一理论框架在后来的研究中得到了扩展，尤其是在流体动力学和混沌理论中被广泛应用。近年来，Koopman算子理论受到了越来越多的关注，特别是在数据驱动的动力学建模和控制领域。研究者们利用Koopman算子提取动态系统的特征，使得对复杂现象的预测和控制更加有效（Mezic, 2005; Korda & Mezic, 2018）。
总之，从Koopman和冯诺伊曼在1931年和1932年的开创性工作到当今的数据驱动应用，Koopman算子理论已成为现代动力学研究不可或缺的重要工具。
Koopman算子定义
Koopman模式分解
Koopman算子应用的简单案例
数据驱动算法
动力学模式分解（DMD）
动力学模式分解是对Koopman模式分解的一种近似。这意味着，DMD的特征值将近似Koopman算子的特征值，DMD中的模式将近似Koopman算子的模式，DMD中的振幅将近似Koopman算子特征函数在初始条件下的取值。
与其他算子的关系
PF算子
Lie算子
参考文献
- ↑ Koopman, B. O. (1931). Hamiltonian Systems and Transformation in Hilbert Space. Proceedings of the National Academy of Sciences, 17(5), 315–318. https://doi.org/10.1073/pnas.17.5.315