Koopman理论
Koopman理论是一种将非线性动力系统用线性算子来分析的方法。它提出，虽然原始系统可能是非线性的，但可以通过Koopman算子作用在观测函数空间，使得系统在这个更高维的空间中变得线性。这样，使用线性分析工具（如谱分析、特征分解）就能研究复杂的非线性动态行为，大大拓展了对非线性系统的理解和建模能力。该理论广泛应用于流体力学、混沌系统和数据驱动建模等领域。
历史溯源
Koopman算子理论的发展始于20世纪30年代，首要的贡献者是B. O. Koopman和冯诺伊曼。Koopman受到量子力学中算子方法的启发，试图用线性方法分析经典的非线性哈密顿（Hamilton）系统。他关心的是观测函数随动力系统演化过程的性质，而不是单独的相空间轨道。在1931年，Koopman在其论文中首次引入了算子的理念，表明通过线性算子可以描述非线性的哈密顿动力系统的演化[1]，这一构想为后来的发展奠定了基础。他强调，可以将动力系统看作是在某种函数空间中的算子作用过程。
冯诺伊曼是当时希尔伯特空间和谱理论的奠基人，他对动力系统的统计与概率性质、特别是遍历性和连续谱问题尤为关注。他希望将动力系统与算子谱理论紧密结合，发展概率与动力系统的严格基础。与Koopman合作的1932年论文中[2]，冯诺伊曼更进一步地分析了具有连续谱的动力系统，给出了动力系统在算子谱理论下一般性的统计行为和遍历结果，对“不可积系统”的性质进行了深刻刻画。两人共同发表的重要论文是早期动力系统Koopman谱理论的里程碑，将Koopman的线性化算子思想和冯诺伊曼的希尔伯特空间、谱理论、概率逻辑方法结合，系统分析了动力系统连续谱情况下的统计与遍历性质[2]。
这一理论框架在后来的研究中得到了扩展，尤其是在流体动力学和混沌理论中被广泛应用。近年来，Koopman算子理论受到了越来越多的关注，特别是在数据驱动的动力学建模和控制领域。研究者们利用Koopman算子提取动态系统的特征，使得对复杂现象的预测和控制更加有效[3]。
总之，从Koopman和冯诺伊曼在1931年和1932年的开创性工作到当今的数据驱动应用，Koopman算子理论已成为现代动力学研究不可或缺的重要工具。
Koopman算子定义
时间离散
时间连续
Koopman模式分解
特征函数与特征值
一个对应于特征值[math]\displaystyle{ \lambda }[/math]的Koopman特征函数[math]\displaystyle{ \varphi(\mathbf{x}) }[/math]满足：
[math]\displaystyle{ \varphi(\mathbf{x}_{k+1}) = \mathcal{K} \varphi(\mathbf{x}_k) = \lambda \varphi(\mathbf{x}_k). }[/math]
在连续时间下，Lie算子的特征函数[math]\displaystyle{ \varphi(\mathbf{x}) }[/math]满足：
[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} \varphi(\mathbf{x}) = \mathcal{L}\varphi(\mathbf{x}) = \mu \varphi(\mathbf{x}), }[/math]
其中[math]\displaystyle{ \mu }[/math]是连续时间下的特征值。一般来说，即使状态空间[math]\displaystyle{ \mathcal{X} }[/math]和动力学[math]\displaystyle{ \mathbf{F}(\mathbf{x}) }[/math]是实值的，特征值和特征向量通常分别是复值的标量和函数。
如果我们考虑本身已经是线性的动力学，可以进一步说明线性时间离散动力学[math]\displaystyle{ \mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}n }[/math]的特征向量与[math]\displaystyle{ g_{n+1} = \mathcal{K}g_n }[/math]的特征函数之间的联系。给定矩阵[math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math]的一个左特征向量[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top }[/math]，我们可以构造一个对应的Koopman特征函数如下
[math]\displaystyle{ \varphi(\mathbf{x}) := \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{x} }[/math]
因为
[math]\displaystyle{ \mathcal{K}\varphi(\mathbf{x}) = \varphi(\mathbf{A}\mathbf{x}) = \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{x} = \lambda \varphi(\mathbf{x}) }[/math]
Koopman算子应用的简单案例
数据驱动算法
动力学模式分解（DMD）
动力学模式分解是对Koopman模式分解的一种近似。这意味着，DMD的特征值将近似Koopman算子的特征值，DMD中的模式将近似Koopman算子的模式，DMD中的振幅将近似Koopman算子特征函数在初始条件下的取值。
扩展DMD
与其他算子的关系
PF算子
Lie算子
参考文献
- ↑ Koopman, B. O. (1931). Hamiltonian Systems and Transformation in Hilbert Space. Proceedings of the National Academy of Sciences, 17(5), 315–318. https://doi.org/10.1073/pnas.17.5.315
- ↑ 2.0 2.1 Koopman, B. O., & Neumann, J. V. (1932). Dynamical Systems of Continuous Spectra. Proceedings of the National Academy of Sciences, 18(3), 255–263. https://doi.org/10.1073/pnas.18.3.255
- ↑ Brunton, S. L., Budišić, M., Kaiser, E., & Kutz, J. N. (2022). Modern Koopman Theory for Dynamical Systems. SIAM Review, 64(2), 229–340. https://doi.org/10.1137/21M1401243