讨论:Koopman算子理论

Koopman算子定义

• 生成元 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} g }[/math]表示观测函数 [math]\displaystyle{ g }[/math]随状态演化的瞬时变化率，即[math]\displaystyle{ \mathcal{L} g(x) = \frac{d}{dt} g(x(t)) }[/math] 。

ymz：最后的这个公式其实是最直观的定义，可不可以往前放，单独列一行

• 结合伊藤公式（Ito's lemma）

ymz：这具体是什么公式，另外中英文是这样对应的吗，lemma直译过来是引理。

pll：“伊藤公式是随机微积分里的 “链式法则”—— 专门用来算 “随布朗运动（一种随机过程）变化的函数” 的微分。”

残差DMD

• 1. Colbrook, M. J., Ayton, L. J. & Szőke, M. Residual dynamic mode decomposition: Robust and verified koopmanism. J. Fluid Mech. 955, A21 (2023).

2. Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).

ymz：这里的文献是干什么的

核DMD

ymz：这一小节第一段话目前还不好理解，可以再顺一顺句子之间逻辑，以及有些关键概念需要解释地更清楚一些，比如隐式和显式的区别。

pll：已改，但是显式隐式没有单独说明，师兄看看这样行吗？

• 再生核希尔伯特空间

ymz：这个术语大概是什么意思？

pll：再生核希尔伯特空间（RKHS）是「自带核函数」的特殊希尔伯特空间 —— 它比普通希尔伯特空间多了一个 “再生性”，能通过核函数直接计算高维内积，不用显式构造高维元素。

pll：核DMD需要加上例子吗？现在的篇幅需要删减吗？

ymz：不需要加例子了，篇幅上差不多。

pll：OK，师兄可以删了

• [math]\displaystyle{ k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \exp\left(-\frac{\mathbf{x} - \mathbf{y}}{\alpha}\right) }[/math] ，其中， [math]\displaystyle{ \mathbf{x} - \mathbf{y} }[/math] 表示数据点 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \mathbf{y} }[/math] 之间的欧氏距离，

ymz：欧式距离的话左右各加两道竖线，表示这是一个对称的距离。

pll：OK，已加，师兄可以删了