讨论:一维动力学

传递函数的视角

将 (RC-2) 两边做拉普拉斯变换，得到

[math]\displaystyle{ \tilde{V}_{\text{in}}(s) = R \tilde{I}(s) + \frac{1}{Cs} \tilde{I}(s) = R \tilde{I}(s) + \tilde{V}_{C}(s) }[/math]

整理得到 [math]\displaystyle{ \tilde{V}_{C} = (RCs + 1)\tilde{V}_{\text{out}}(s) }[/math]，系统的传递函数为

[math]\displaystyle{ G(s) = \frac{\tilde{V}_{\text{out}}(s)}{\tilde{V}_{C}(s)} = \frac{1}{RCs + 1}, }[/math]

这是一个典型的一阶惯性环节，电容开始无电量，电压恒定的情况相当于系统的阶跃响应，而一阶惯性系统的阶跃响应总是稳定、无震荡的。其响应值达到稳态值的约 [math]\displaystyle{ 63.2\% }[/math] 所需时间为时间常数 [math]\displaystyle{ \tau }[/math]。由控制论的工具出发，还可以分析 RC 电路在不同输入电压（如脉冲、交流电）下的不同响应（输出电压）。

频率特性

现在考虑输入为单相交流电的情形。假设输入电压随时间变化为 [math]\displaystyle{ V_{\text{in}}(t) = \sin(\omega t) }[/math]，其对应的拉普拉斯变换为 [math]\displaystyle{ \displaystyle \tilde{V}_{\text{in}}(s) = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}} }[/math]，由系统的传递函数，可得输出电压的拉普拉斯变换为

[math]\displaystyle{ \tilde{V}_{\text{out}}(s) = \tilde{V}_{\text{in}}(s) G(s) = \frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}} \cdot \frac{1}{\tau s+ 1} }[/math]

做拉普拉斯反变换，得到

[math]\displaystyle{ V_{\text{out}}(t) = \frac{\tau \omega}{1 + \tau^{2}\omega^{2}}e^{-t/\tau} + \frac{1}{\sqrt{ (\omega \tau)^{2} + 1 }} \sin(\omega t - \arctan(\omega \tau)) }[/math]

称 [math]\displaystyle{ a(\omega) = \displaystyle \frac{1}{(\omega \tau)^{2}+1} }[/math] 为系统的幅频特性，[math]\displaystyle{ \phi(\omega) = -\arctan(\omega \tau) }[/math] 为其相频特性。可以看到当交流电频率增加时，输出电压的幅度降低：这是一个简单的低通滤波器。