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逻辑斯谛方程

王志鹏（讨论 | 贡献）2025年12月26日 (五) 21:54的版本 （→‎生态学与人口学）

逻辑斯谛方程（Logistic Equation），又称逻辑斯谛增长模型，是一种描述在有限资源环境下种群规模增长的S形曲线数学模型。该模型由比利时数学家皮埃尔·弗朗索瓦·韦尔霍斯特（Pierre François Verhulst）于19世纪提出，如今已成为生态学、生物学、化学、人口学、经济学、地球科学、心理学、社会学、政治学、语言学、统计学、医学和机器学习等多个领域的核心模型之一。

逻辑斯谛方程的数学表达式为：[math]\displaystyle{ {\frac{dN}{dt} = λN(K - N)} }[/math]，是基于种群规模的增长率([math]\displaystyle{ {\frac{dN}{dt}} }[/math])与当前种群规模（[math]\displaystyle{ N }[/math]）成正比，同时也与环境容纳量（[math]\displaystyle{ K }[/math]）和当前种群规模之差（[math]\displaystyle{ K-N }[/math]）成正比的科学假设。

历史

逻辑斯谛方程的历史发展跨越两个世纪，融合了人口学、生物学和数学的交叉研究：

  • 理论奠基：逻辑斯谛函数由比利时数学家皮埃尔·弗朗索瓦·韦尔霍斯特在1838年至1847年间发表的三篇论文中系统提出并发展。他在阿道夫·凯特勒的指导下，将其作为对指数增长模型的调整，用于描述人口增长。韦尔霍斯特在1838年的论文中首次提出了逻辑斯谛方程的微分形式，其中包含了由环境承载能力决定的种群平衡点[1]。1845年，他正式将方程的解曲线命名为“逻辑斯谛曲线”（图1）[2]。1847年，他在第三篇论文中对比利时人口增长模型的修正项进行了调整[3]。韦尔霍斯特选用“逻辑斯谛”一词，可能源于古希腊语λογῐστῐκός（logistikós，意为“计算”），该词指代古希腊数学的一个分支，大致相当于应用数学，以区别于线性（算术）增长和对数（几何/指数）增长，意在暗示其增长模型比一次函数和指数函数更贴合实际。
 
图1. 指数增长（Exponential growth）和逻辑斯谛增长（Logistic growth）。图片来源：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/1c/Population_growth.png
  • 重新发现与推广：韦尔霍斯特的工作在当时并未引起广泛关注。直到1920年，美国生物学家雷蒙德·珀尔和洛厄尔·里德在研究果蝇种群增长和人口问题时独立重新发现了这一方程，并提出了现在广为流传的形式。他们的工作使得该方程在生物学界广为人知，因此该方程有时也被称为韦尔霍斯特-珀尔方程或“阻碍增长方程”[4]。
  • 实验验证与理论拓展：1911年，A. G. McKendrick首次将逻辑斯谛方程用于描述肉汤中细菌的生长，并通过非线性参数估计进行了实验测试[5]。1925年，数学生物学家阿弗雷德·洛特卡也独立推导出该方程，称其为“种群增长律”[6]。
  • 混沌理论发展：随着20世纪系统科学和混沌理论的发展，该方程的离散形式——逻辑斯谛映射被深入研究。罗伯特·梅在1976年发表于《自然》杂志的论文《简单数学模型中的复杂动力学》中[7]，系统阐述了这一简单非线性方程如何产生复杂的混沌行为，从而使该模型成为混沌研究的经典范例[8]。
  • 模型地位的奠定：逻辑斯谛增长模型被视为与密度相关的种群连续增长模型的典型，其参数[math]\displaystyle{ r }[/math]（内禀增长率）和[math]\displaystyle{ K }[/math]（环境容纳量）已成为生物进化对策理论（如R/K选择理论）中的核心概念[9][10]。

简介

问题背景

种群增长的一个基础模型基于如下假设：在理想条件下（资源无限、空间充足、无天敌、无疾病），种群规模的增长率与种群规模本身成正比。该假设对某些生物种群（如细菌）的初期增长是合理的。 种群规模的增长率为其导数[math]\displaystyle{ \displaystyle{ \frac{dN}{dt} } }[/math]，因此上述假设可表示为：

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{dN}{dt} &= λN \end{aligned} }[/math]

 

 

 

 

(1)

其中[math]\displaystyle{ λ }[/math]为比例常数。公式(1)是一个包含未知函数[math]\displaystyle{ N }[/math]及其导数的微分方程，即著名的马尔萨斯模型（又称指数增长模型）[11]（图1）。

设初始种群规模不为零，即对所有[math]\displaystyle{ t }[/math]有[math]\displaystyle{ N_{(t)} \gt 0 }[/math]。 若[math]\displaystyle{ λ \gt 0 }[/math]，则由公式(1)可知，种群将持续增长。 事实上，公式(1)表明，随着[math]\displaystyle{ N_{(t)} }[/math]增大，增长率[math]\displaystyle{ \displaystyle{ \frac{dN}{dt} } }[/math]也同步增大，即增长率随种群规模扩大而加速。


求解公式(1)，需找到导数为自身常数倍的函数，指数函数满足此性质。令 [math]\displaystyle{ \displaystyle{ N_{(t)} = C\mathrm{e}^{λt}} }[/math]，则有 [math]\displaystyle{ N ^ {\prime}{(t)} = C \left(λ e ^ {λ t}\right) = λ \left(C e ^ {λ t}\right) = λ N_{(t)} }[/math]， 因此，任何形如[math]\displaystyle{ N_{(t)} = C\mathrm{e}^{λt} }[/math]的指数函数都是方程的解。

令[math]\displaystyle{ C }[/math]取不同实数值，可得方程的解族[math]\displaystyle{ N_{(t)} = Ce^{λt} }[/math]。由于种群规模为正，故只取[math]\displaystyle{ C \gt 0 }[/math]的解。 代入初始时间[math]\displaystyle{ t = 0 }[/math]，得[math]\displaystyle{ N(0) = Ce^{λ(0)} = C }[/math]，可知常数[math]\displaystyle{ C }[/math]即为初始种群规模[math]\displaystyle{ N_{(0)} }[/math]。


然而，自然界中的种群增长并非无限制。马尔萨斯模型描述了理想条件下（即资源无限时）的指数增长，但这在现实中几乎不存在。大多数增长过程会受到环境承载力（如食物、空间、天敌等）的限制。韦尔霍斯特意识到人口增长不仅与现有人口相关，还受可用资源制约，即存在一个最大承载量。


在环境资源有限的情况下，种群初始呈指数增长，当规模接近环境容纳量[math]\displaystyle{ K }[/math]时，增长趋于稳定（若规模超过[math]\displaystyle{ K }[/math]，则会下降至[math]\displaystyle{ K }[/math]）（图1）。一个符合现实的模型应满足以下两点：

  • 当[math]\displaystyle{ N }[/math]很小时，[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}\approx λN }[/math] （初始阶段，增长率与[math]\displaystyle{ N }[/math]成正比）；
  • 当[math]\displaystyle{ N \gt K }[/math]时，[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} \lt 0 }[/math] （规模超过[math]\displaystyle{ K }[/math]时，种群数量减少）。

一种能同时满足上述两个假设的方法是，假定增长率与当前种群规模（[math]\displaystyle{ N }[/math]）成正比，同时也与剩余资源空间（[math]\displaystyle{ K-N }[/math]）成正比。 对应的微分方程为[math]\displaystyle{ \mathrm{d}N/ \mathrm{d}t = cN(K - N) }[/math]，其中[math]\displaystyle{ c }[/math]为比例常数。该式等价于[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = \frac{λN(K - N)}{K} }[/math]，其中[math]\displaystyle{ λ = cK }[/math]。

核心思想

逻辑斯谛方程的核心思想是：种群增长率受双重因素影响，既与当前种群规模（[math]\displaystyle{ N }[/math]）成正比，也与剩余资源空间（[math]\displaystyle{ K-N }[/math]）成正比。 随着种群规模接近环境承载力[math]\displaystyle{ K }[/math]，其增长率将逐渐下降至零，从而实现种群的自我调节。这种增长模式表现为典型的S形曲线，根据增长速率的变化，其过程可细分为五个时期：①开始期（潜伏期），种群数量少，增长缓慢；②加速期，增长逐渐加快；③转折期，当种群数量达到[math]\displaystyle{ K/2 }[/math]时，增长速率最快；④减速期，增长逐渐变慢；⑤饱和期，种群数量达到[math]\displaystyle{ K }[/math]值并维持稳定[12]（图2）。

 
图2. 简单逻辑斯谛曲线的示意图。增长率函数在同一图上以钟形曲线表示。引自[13]

主要内容

微分形式与推导

逻辑斯谛方程的标准微分形式为：

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{dN}{dt} &= λN(1-\frac{N}{K}) \end{aligned} }[/math]

 

 

 

 

(2)

其中：

  • [math]\displaystyle{ N_{(t)} }[/math]: 时间[math]\displaystyle{ t }[/math]时的种群规模；
  • [math]\displaystyle{ λ }[/math]: 内禀增长率，表示理想条件下种群的最大增长潜力；
  • [math]\displaystyle{ K }[/math]: 环境承载力，即环境所能支持的最大种群规模；
  • [math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]: 种群在时刻[math]\displaystyle{ t }[/math]的瞬时增长率。

该方程(2)亦可从韦尔霍斯特最初提出的形式推导而来。 其原始形式为[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} = λN - \alpha N^2 }[/math] ，其中[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]表示密度依赖的拥挤效应（种内竞争）。通过变量替换[math]\displaystyle{ K = \frac{λ}{\alpha} }[/math]即可得到标准形式。

解析解与S形曲线

逻辑斯谛方程是一个可分离变量的微分方程，其解析解为：

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} N_{(t)} = \frac{K}{1+(\frac{K-N_0}{N_0})e^{-λt}} \end{aligned} }[/math]

 

 

 

 

(3)

或等价写作：[math]\displaystyle{ N_{(t)} = \frac{K}{1 + C K e^{-λt}} }[/math]，其中[math]\displaystyle{ C = \frac{1}{N_0} - \frac{1}{K} }[/math]是由初始条件决定的常数。

该解描述了一条S形曲线（又称sigmoid曲线），其增长过程可分为三个阶段：

  • 初始阶段（[math]\displaystyle{ N \ll K }[/math]）：增长近似指数增长，曲线呈凹形上升；
  • 过渡阶段（[math]\displaystyle{ N \approx K/2 }[/math]）：增长速度达到最大值，曲线出现拐点；
  • 饱和阶段（[math]\displaystyle{ N \to K }[/math]）：增长逐渐减缓并趋近于零，种群规模稳定在承载力[math]\displaystyle{ K }[/math]附近。

方程的性质

逻辑斯谛系数与调节机制

方程(2)中的因子[math]\displaystyle{ (1-\frac{N}{K}) }[/math]称为逻辑斯谛系数，它体现了密度依赖的调节作用。当[math]\displaystyle{ N }[/math]很小时，该系数接近[math]\displaystyle{ 1 }[/math]，方程近似于指数增长；随着[math]\displaystyle{ N }[/math]增大，该系数减小，对增长的抑制作用增强；当[math]\displaystyle{ N = K }[/math]时，系数为[math]\displaystyle{ 0 }[/math]，增长停止。

不动点与稳定性

逻辑斯谛方程有两个不动点（平衡点）：

  • [math]\displaystyle{ N = 0 }[/math]：为不稳定平衡点，表示种群灭绝；
  • [math]\displaystyle{ N = K }[/math]：为稳定平衡点，表示种群达到环境承载力。


对原方程 [math]\displaystyle{ dN/dt = f(N) = λN(1-N/K) }[/math] 进行线性稳定性分析。 计算导数[math]\displaystyle{ f'(N) = λ(1 - 2N/K) }[/math]。

  • 在 [math]\displaystyle{ N=0 }[/math]处，[math]\displaystyle{ f'(0) = λ \gt 0 }[/math]，微扰会指数增长，故为不稳定平衡点；
  • 在 [math]\displaystyle{ N=K }[/math] 处，[math]\displaystyle{ f'(K) = -λ \lt 0 }[/math]，微扰会指数衰减，故为稳定平衡点；
  • 当 [math]\displaystyle{ N \lt K }[/math]时，逻辑斯谛系数为正，种群数量上升；当[math]\displaystyle{ N \gt K }[/math] 时，系数为负，种群数量下降；当 [math]\displaystyle{ N = K }[/math] 时，系数为零，种群数量保持不变

拐点与最大增长速率

逻辑斯谛曲线的拐点出现在 [math]\displaystyle{ N = \frac{K}{2} }[/math]处，此时种群增长速率（[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]）达到最大值[math]\displaystyle{ \frac{λK}{4} }[/math] （图2）。这一性质在资源管理中有直接应用，例如在渔业和林业中，将种群数量维持在[math]\displaystyle{ K/2 }[/math]左右，可以获得最大可持续产量而不损害资源再生能力。

离散形式的逻辑斯谛方程

逻辑斯谛方程的离散形式称为逻辑斯谛映射，其表达式为：[math]\displaystyle{ x_{n+1} = r x_n (1 - x_n) }[/math]，其中[math]\displaystyle{ x_n }[/math]表示第[math]\displaystyle{ n }[/math]代的种群规模（通常归一化到[0,1]区间），[math]\displaystyle{ r }[/math]为增长参数。该离散模型可视为通过欧拉前差法从连续方程近似得到，是研究混沌动力学的经典模型。当参数[math]\displaystyle{ r }[/math]变化时，系统会经历倍周期分岔通向混沌，展示了确定性非线性系统内在的复杂性与不可预测性[14][15][16]。

推广

逻辑斯谛方程有多种推广形式，以适应更复杂的现实情况：

  • 广义逻辑斯谛曲线（理查兹曲线）：引入形状参数[math]\displaystyle{ \nu }[/math]，方程形式为[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} = \frac{λ}{\nu} N [1-(\frac{N}{K})^\nu] }[/math]，以增强拟合灵活性，常用于不对称增长或流行病建模[17][18]；
  • 时滞逻辑斯谛方程：考虑种群对资源影响的延迟反馈，方程形式为[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} = λN(t)[1-\frac{N(t-\tau)}{K}] }[/math]，可能产生振荡等复杂动态[19]；
  • 空间逻辑斯谛模型：结合反应-扩散方程，研究种群在空间中的分布与传播模式[20]；
  • 冈珀茨函数：常用于描述生长速度不对称的生长过程，如肿瘤生长[21]；
  • 超博拉斯特函数：用于更复杂的生长模式建模[22]

在统计学中，逻辑斯谛函数的多元推广是softmax函数，用于处理多类别分类问题。

应用

生态学与人口学

逻辑斯谛方程最初且最直接的应用领域是生态学与人口学：

  • 种群动力学：描述有限资源下生物种群的增长规律，如果蝇、细菌等。它也是许多相互作用种群模型（如捕食-被捕食模型）的基础[23][24]。
  • 资源管理：指导渔业、林业等可再生资源的可持续利用，避免过度开发。其核心原则是使资源种群数量保持在环境容纳量[math]\displaystyle{ K }[/math]的一半（[math]\displaystyle{ K/2 }[/math]）附近，此时种群增长速率最大，可获得最大持续产量[25]。
  • 人口预测：用于模拟和预测人类人口增长，如珀尔和里德对美国人口的研究[26]。


在人口学中，该模型通常写作：[math]\displaystyle{ {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=rN\left(1-{\frac {N}{K}}\right)} }[/math]， 其中常数[math]\displaystyle{ r }[/math]为种群（人口）增长率，[math]\displaystyle{ K }[/math]为环境承载力。 方程中，早期的几乎无阻力的增长率来自[math]\displaystyle{ rN }[/math]。增长率[math]\displaystyle{ r }[/math]代表种群（人口）数量[math]\displaystyle{ N }[/math]在一个单位时间内的增长比例。随着人口增长，第二项[math]\displaystyle{ {\frac{-rN^2}{K}} }[/math]变得几乎和第一项一样大，种群[math]\displaystyle{ N }[/math]内的个体之间开始争夺某些关键资源（例如食物或生存空间）而相互干扰。这种对抗效应称为“瓶颈”，由参数[math]\displaystyle{ K }[/math]代表。竞争会降低总增长率，直到[math]\displaystyle{ N }[/math]停止增长（种群/人口成熟）。方程的解（[math]\displaystyle{ N_{0} }[/math]为初始种群/人口数量）为：

[math]\displaystyle{ \begin{aligned}{\displaystyle N(t)={\frac {KN_{0}e^{rt}}{K+N_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-N_{0}}{N_{0}}}\right)e^{-rt}}}} \end{aligned} }[/math]，

 

 

 

 

(4)

其中：[math]\displaystyle{ {\displaystyle \lim _{t\to \infty }N(t)=K} }[/math]。 因此，[math]\displaystyle{ K }[/math]是[math]\displaystyle{ N }[/math]的极限值，即经过足够长时间后，种群（人口）规模所能达到的最大值。值得注意的是，只要初始值[math]\displaystyle{ {\displaystyle N(0)\gt 0} }[/math]，无论取值多少，种群数量都会渐近逼近环境承载力[math]\displaystyle{ K }[/math]，即使初始值[math]\displaystyle{ {\displaystyle N(0)\gt K} }[/math]也是如此。


生态学中有时称一个物种是[math]\displaystyle{ R }[/math]策略或[math]\displaystyle{ K }[/math]策略(R/K选择理论)的，这是指它们在自然选择过程形成的生物生命周期策略。进行无量纲化，使[math]\displaystyle{ n }[/math]代表以环境承载力单位的种群数量，[math]\displaystyle{ {\displaystyle \tau } }[/math]代表以[math]\displaystyle{ {\displaystyle 1/r} }[/math]的单位计量的时间，得出无量纲微分方程： [math]\displaystyle{ {\displaystyle {\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n)} }[/math]。 若环境承载力随时间变化，即[math]\displaystyle{ {\displaystyle K(t)\gt 0} }[/math]，则得到以下数学模型： [math]\displaystyle{ {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=rN\cdot \left(1-{\frac {N}{K(t)}}\right)} }[/math] 其中一种特别重要的情况是承载力呈周期变化： [math]\displaystyle{ {\displaystyle K(t+T)=K(t)} }[/math]， 此时，只要初始值[math]\displaystyle{ {\displaystyle N(0)\gt 0} }[/math]，[math]\displaystyle{ {\displaystyle N(t)} }[/math]会逼近一个周期为[math]\displaystyle{ {\displaystyle T} }[/math]的周期解[math]\displaystyle{ {\displaystyle N_{*}(t)} }[/math]。

[math]\displaystyle{ {\displaystyle T} }[/math]的典型取值为1年，在此情况下，[math]\displaystyle{ {\displaystyle K(t)} }[/math]可表示天气条件的周期性变化。 另一个有趣的一般化情形是考虑承载能力[math]\displaystyle{ K_{(t)} }[/math]作为关于较早时间的种群数量的函数，以表示种群改变其所处环境的延迟。这就构成了一个逻辑斯谛时滞方程，它具有非常丰富的行为，在某些参数范围内呈现双稳定，以及单调衰减至零、平滑指数增长、间断无限增长（即多个S形）、间断增长或交替到平稳水平、振荡接近稳定水平、持续振荡、有限时间奇异点以及有限时间死亡。

医学：流行病传播模型

在医学领域，逻辑斯谛方程被广泛应用于流行病学建模：

  • 疾病传播：在经典的SIR模型中，逻辑斯谛方程可以近似描述在疾病爆发初期，易感人群数量庞大时，感染者人数的增长模式。在COVID-19大流行期间，广义逻辑斯谛曲线被广泛用于拟合和预测各国感染病例的增长轨迹[27][28]。
  • 疫情预测：在COVID-19疫情期间，广义逻辑斯谛函数（理查兹增长曲线）被用于拟合感染轨迹，预测疫情发展趋势[29]。
  • 肿瘤生长：用于描述肿瘤在营养限制条件下的生长动力学。可将其视为上述生态学/人口学模型的延伸。以[math]\displaystyle{ {\displaystyle X(t)} }[/math]表示肿瘤在时间[math]\displaystyle{ {\displaystyle t} }[/math]的大小，其变化动力学遵循：

[math]\displaystyle{ \begin{aligned}{\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X} \end{aligned} }[/math]

 

 

 

 

(1)

该式属于以下类型：[math]\displaystyle{ {\displaystyle X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,} }[/math]，其中[math]\displaystyle{ {\displaystyle F(X)} }[/math]为肿瘤增殖率。

若采用化疗产生对数杀伤效果，则等式1修改为： [math]\displaystyle{ \begin{aligned}{\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X}\end{aligned} }[/math]，其中[math]\displaystyle{ {\displaystyle c(t)} }[/math]为治疗引起的肿瘤死亡率。在理想化的长期治疗下，[math]\displaystyle{ {\displaystyle c(t)} }[/math]可模型化为周期为[math]\displaystyle{ {\displaystyle T} }[/math]的周期函数或常数函数（如持续输液），且有[math]\displaystyle{ {\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt\gt r\to \lim _{t\to +\infty }x(t)=0} }[/math]， 即，如果平均治疗引起的肿瘤死亡率大于基线增殖率，则疾病能被根除。当然，这是一个过于简化的生长和治疗模型（例如没有考虑克隆抗性现象）[30]。

化学与物理学

逻辑斯谛方程在化学和物理学中也有重要应用：

  • 自催化反应：描述自催化化学反应中反应物和产物浓度的变化规律。例如，某些燃料电池催化剂的衰减过程遵循逻辑斯谛规律，提示其为自催化分解机制[31]。
  • 费米-狄拉克分布：在统计物理中，逻辑斯谛函数决定了费米子在热平衡系统中各能态的占据概率分布[32]。
  • 相变模型：用于描述材料科学中的某些相变过程[33]。

经济学、语言学、社会学与技术创新扩散

在经济学和社会科学中，逻辑斯谛方程用于描述各种扩散过程：

  • 经济发展：用于分析经济增长的长期周期和基础设施建设的扩散过程。
  • 市场预测：预测新产品市场占有率的增长和饱和趋势[34]。
  • 语言学：用于对语言变化进行建模，如新词汇或语法结构的传播速度随时间呈S形变化。
  • 创新扩散：巴斯扩散模型的核心就是逻辑斯谛方程，用于描述新产品或新技术在人群中采纳的过程：从早期采用者到晚期大众，最后市场饱和。

机器学习：逻辑斯谛回归与激活函数

在机器学习领域，逻辑斯谛函数是逻辑斯谛回归的基础：

  • 二分类问题：通过逻辑斯谛函数（Sigmoid函数）将线性组合的输出映射到（0,1）区间，解释为概率。
  • 多分类扩展：通过softmax函数推广到多类别分类问题。
  • 深度学习：作为神经网络的激活函数，引入非线性特性。标准逻辑斯谛函数[math]\displaystyle{ \sigma(x) = 1/(1+e^{-x}) }[/math]是双曲正切函数[math]\displaystyle{ \tanh(x) }[/math]的缩放平移，即[math]\displaystyle{ \sigma(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\tanh(\frac{x}{2}) }[/math]。

逻辑斯谛回归源于1944年约瑟夫·伯克森基于逻辑斯谛函数提出的logit函数，后来由大卫·考克斯在1958年正式命名为逻辑斯谛回归。如今，它已成为分类问题中最广泛使用的算法之一[35][36]。

参考

  1. ↑ Verhulst, Pierre Francois (1838). Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. Correspondance mathématique et Physigue, publiée par A. Quetelet, 10, 113-120.
  2. ↑ Verhulst, Pierre Francois (1845). Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement dela population. Nouveaur Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et desBeaux-Arts de Belgique, 18,1-38.
  3. ↑ Verhulst, Pierre Francois (1847). Deuxième Mémoire sur la loi d'accroissement de la popula.tion. Nouveaur Mémoires de l'Académie Rouale des Sciences, des Lettres et des Beaur-Artsde Belgique, 20,1-32.
  4. ↑ Pearl, R., & Reed, L. J. (1920). On the rate of growth of the population of the United States since 1790 and its mathematical representation. Proceedings of the National Academy of Sciences, 6(6), 275–288.
  5. ↑ McKendrick, A. G., & Pai, M. K. (1912). XLV.—The Rate of Multiplication of Micro-organisms: A Mathematical Study. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 31, 649-653.
  6. ↑ Lotka, A. J. (1925). Elements of physical biology. Williams & Wilkins.
  7. ↑ May R. 1976. Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature 261, 459–467.
  8. ↑ Strogatz, S. H. (2018). Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering (2nd ed.). Boca Raton: CRC Press.
  9. ↑ Pianka, E. R. (1970). On r- and K-selection. The American Naturalist, 104(940), 592–597.
  10. ↑ Begon, M., Townsend, C. R., & Harper, J. L. (2006). Ecology: from individuals to ecosystems (4th ed.). Blackwell Publishing.
  11. ↑ Malthus, T. R. (1798). An essay on the principle of population. J. Johnson.
  12. ↑ Kucharavy, D., Roland, DG. (2015). Application of logistic growth curve. Procedia engineering, 131, 280-290.
  13. ↑ Kucharavy, D., Roland, DG. (2015). Application of logistic growth curve. Procedia engineering, 131, 280-290.
  14. ↑ Strogatz, S. H. (2018). Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering (2nd ed.). Boca Raton: CRC Press.
  15. ↑ May, R. M. (1976). Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature, 261(5560), 459–467.
  16. ↑ Feigenbaum, M. J. (1978). Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. Journal of Statistical Physics, 19(1), 25–52.
  17. ↑ Richards, F. J. (1959). A Flexible Growth Function for Empirical Use. Journal of Experimental Botany, 10(2), 290–301.
  18. ↑ Tjørve, E., & Tjørve, K. M. C. (2010). A unified approach to the Richards-model family for use in growth analyses: why we need only two model forms. Journal of Theoretical Biology, 267(3), 417–425.
  19. ↑ Hutchinson, G. E. (1948). Circular causal systems in ecology. Annals of the New York Academy of Sciences, 50(4), 221–246.
  20. ↑ Fisher, R. A. (1937). The wave of advance of advantageous genes. Annals of Eugenics, 7(4), 355–369.
  21. ↑ Gompertz, B. (1825). On the nature of the function expressive of the law of human mortality. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 115, 513–585.
  22. ↑ West, G. B., Brown, J. H., & Enquist, B. J. (2001). A general model for ontogenetic growth. Nature, 413(6856), 628–631.
  23. ↑ Lotka, A. J. (1925). Elements of physical biology. Williams & Wilkins.
  24. ↑ Volterra, V. (1926). Variazioni e fluttuazioni del numero d'individui in specie animali conviventi. Mem. R. Accad. Naz. dei Lincei, 2, 31–113.
  25. ↑ Clark, C. W. (1990). Mathematical bioeconomics: the optimal management of renewable resources (2nd ed.). New York: Wiley.
  26. ↑ Cohen, J. E. (1995). How many people can the earth support? W. W. Norton & Company.
  27. ↑ Lee, S. Y., Lei, B., & Mallick, B. (2020). Estimation of COVID-19 spread curves integrating global data and borrowing information. PLOS ONE, 15(7), e0236860.
  28. ↑ Chowell, G., Hengartner, N. W., Castillo-Chavez, C., Fenimore, P. W., & Hyman, J. M. (2004). The basic reproductive number of Ebola and the effects of public health measures: the cases of Congo and Uganda. Journal of Theoretical Biology, 229(1), 119–126.
  29. ↑ Roosa, K., Lee, Y., Luo, R., Kirpich, A., Rothenberg, R., Hyman, J. M. & Chowell, G. (2020). Real-time forecasts of the COVID-19 epidemic in China from February 5th to February 24th, 2020. Infectious Disease Modelling, 5, 256–263.
  30. ↑ Simeoni, M., Magni, P., Cammia, C., De Nicolao, G., Croci, V., Pesenti, E., ... & Rocchetti, M. (2004). Predictive pharmacokinetic-pharmacodynamic modeling of tumor growth kinetics in xenograft models after administration of anticancer agents. Cancer Research, 64(3), 1094–1101.
  31. ↑ Epstein, I. R., & Pojman, J. A. (1998). An introduction to nonlinear chemical dynamics: oscillations, waves, patterns, and chaos. Oxford University Press.
  32. ↑ Reif, F. (1965). Fundamentals of statistical and thermal physics. McGraw-Hill.
  33. ↑ Stanley, H. E. (1971). Introduction to phase transitions and critical phenomena. Oxford University Press.
  34. ↑ Bass, F. M. (1969). A new product growth for model consumer durables. Management Science, 15(5), 215–227.
  35. ↑ Berkson, J. (1944). Application of the logistic function to bio-assay. Journal of the American Statistical Association, 39(227), 357–365.
  36. ↑ Cox, D. R. (1958). Two further applications of a model for binary regression. Biometrika, 45(3/4), 562–565.
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