不动点
不动点的定义
- 连续
对于一个自治动力系统（常微分方程）： [math]\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = f(x)， x \in \mathcal{R}^n }[/math]
不动点 [math]\displaystyle{ x^* }[/math] 满足： [math]\displaystyle{ f(x^*)=0 }[/math]
- 离散
在离散映射系统[math]\displaystyle{ x_{n+1} = g(x_n) }[/math]中，不动点满足[math]\displaystyle{ x^* = g(x^*) }[/math]
自指、递归、纳什均衡属于离散映射的不动点
不动点的分类
非线性动力学与混沌
连续系统（常微分方程）中的不动点
通过对系统在不动点附近线性化（雅可比矩阵) 的特征值）来判断稳定性：
结点
- 稳定
特征值均为负实数（或复实部全负，且无虚部或虚部很小），相轨迹沿不变方向趋于该点。
- 不稳定
特征值均为正实数，相轨迹远离该点。
鞍点
特征值中有些实部为正，有些为负（至少一个正一个负），该点不稳定，但在某些方向吸引，某些方向排斥。
焦点
- 稳定
特征值为复数且实部全负，相轨迹螺旋趋于该点。
- 不稳定
特征值为复数且实部全正，相轨迹螺旋远离该点。
中心点
特征值为纯虚数（实部为零），相轨迹为闭合曲线环绕该点，稳定性由高阶项决定（线性化判断为中性，非线性可能稳定/不稳定）。
离散映射中的不动点
[math]\displaystyle{ x_{n+1} = g(x_n) }[/math]
- 吸引（稳定）：所有特征值的模[math]\displaystyle{ |\lambda|\lt 1 }[/math]
- 排斥（不稳定）：至少有一个特征值的模[math]\displaystyle{ |\lambda|\gt 1 }[/math]
- 鞍点：有些[math]\displaystyle{ |\lambda|\lt 1 }[/math]有些[math]\displaystyle{ |\lambda|\gt 1 }[/math]
- 中性（边缘）：有[math]\displaystyle{ |\lambda|=1 }[/math]的情况，需用非线性分析。
特殊情况与进一步概念
退化不动点
当雅可比矩阵有零特征值或纯虚数且非线性项起决定作用时，线性稳定性理论失效，需用中心流形定理或正规形理论分析。
非双曲不动点
至少有一个特征值实部为零（连续系统），或模等于 1（离散系统），此时稳定性由高阶项决定。
全局稳定性与吸引子
若所有轨迹都趋于某稳定不动点，则该不动点是全局吸引子（常见于梯度系统）。
多不动点与分岔
非线性系统常有多个不动点，参数变化时不动点可能产生、消失或改变稳定性，称为分岔（如鞍结分岔、叉式分岔、霍普夫分岔）。
其他
重整化群
自指
- 如果“算”指的是“计算过程”，那么自指不是算法，而是不动点计算或定义中的关键要素。
- 如果“算”指的是“等价于”，那么可以说：在计算机科学和指称语义的核心模型中，一个（良定义的）自指（递归）的数学含义，就是一个不动点。自指是语法，不动点是语义。
- 自指是产生不动点现象和结构的源泉与表现形式，而不动点定理是理解和驯服自指（使其有意义、不矛盾）的数学工具和框架。
纳什均衡作为不动点
纳什均衡本质上就是“最优反应对应”的不动点。纳什的证明将博弈均衡的存在性问题，优雅地转化并依赖于一个深刻的不动点定理
其他博弈论概念中的不动点
- 理性化策略与迭代剔除：在迭代剔除劣策略的过程中，每一步剩下的策略集可以看作一个映射的不动点（或收敛于一个不动点），即“在相信对方也会在剩余策略集中理性选择的前提下，我的理性选择集”。
- 相关均衡：也可以被刻画为某个适当映射的不动点。
- 演化稳定策略：在复制者动态等演化博弈模型中，ESS常常对应于动态系统的不动点（平衡点）。研究其稳定性就是研究不动点附近的动态行为。
- 讨价还价与谈判解：纳什谈判解等合作博弈的解概念，通常也可以通过构造一个满足某些公理的映射，然后寻找其不动点来刻画。
- 匹配理论：著名的“延迟接受算法”所找到的稳定匹配，可以被证明是某个定义在匹配集合上映射的不动点。
不动点分析方法
- 线性稳定性分析（雅可比矩阵）
- 李雅普诺夫函数（直接法，适用于非线性全局稳定性）
- 中心流形定理
- 数值方法（如牛顿法找不动点，数值积分验证稳定性）