跨临界分岔

跨临界分岔

历史溯源

跨临界分岔的早期研究可追溯到庞加莱（Jules Henri Poincaré）时期。庞加莱提出了“分岔形态”等概念，以参数变化导致解支合并消失为核心研究图景，

跨临界分岔的名称最早由安德罗诺夫（A. A. Andronov）与列昂托维奇（E. A. Leontovich）给出，并且讨论了不同参数下系统的不动点情况。

标准型及其性质

在数学上，我们可以通过标准型来研究分岔的本质特征。对于一维动力系统（参考一维动力学），跨临界分岔的最简微分方程形式（标准型）如下

[math]\displaystyle{ \dot{x} = rx \pm x^2 }[/math]

(1)

• 其中[math]\displaystyle{ x \in \mathcal{R} }[/math]是状态变量，[math]\displaystyle{ r \in \mathcal{R} }[/math]为诱导分岔产生的外部参数。

• 对于实际研究中的更复杂的系统，如[math]\displaystyle{ \dot{x} = r - x - \mathrm{e}^{-x} }[/math]，为了将原系统简化为标准型（即忽略高阶项（如 [math]\displaystyle{ O(x^3, r^2) }[/math] 等）的影响），状态变量 [math]\displaystyle{ x }[/math] 和参数 [math]\displaystyle{ r }[/math] 必须限制在局部范围内：
  • [math]\displaystyle{ x }[/math] 的取值范围应为不动点 [math]\displaystyle{ x^* }[/math] 的 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-邻域：[math]\displaystyle{ x \in (x^* - \varepsilon, x^* + \varepsilon) }[/math]，其中 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] 且充分小。
  • [math]\displaystyle{ r }[/math] 的取值范围应为临界值 [math]\displaystyle{ r_c }[/math] 的 [math]\displaystyle{ \delta }[/math]-邻域：[math]\displaystyle{ r \in (r_c - \delta, r_c + \delta) }[/math]，其中 [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math] 且充分小。

只有在此微小邻域内，泰勒展开后的低阶项才能主导系统的定性行为。具体可参见下文中的推广形式。

跨临界分岔的关键性质在于，随着系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]的改变，相空间中原本存在的两个不动点（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终互换：稳定变不稳定，不稳定变稳定。

形如以下的分岔图：分岔图是以参数[math]\displaystyle{ r }[/math]为自变量，系统不动点[math]\displaystyle{ x^* }[/math]为因变量，能直观展示参数的取值与不动点的数量和性质的关系。

不动点及其稳定性

以[math]\displaystyle{ \dot{x} = rx- x^2 }[/math] 为例

令[math]\displaystyle{ f(x)=rx-x^2=0 }[/math]，当[math]\displaystyle{ r\lt 0 }[/math]时，有两个不动点；当[math]\displaystyle{ r=0 }[/math]时，有一个不动点；当[math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math]时，有两个不动点。

[math]\displaystyle{ f'(x^*)=r-2x^* }[/math]。当[math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math]时，[math]\displaystyle{ x^*=\sqrt{r} }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)\lt 0 }[/math]，是稳定不动点；[math]\displaystyle{ x^*=-\sqrt{r} }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)\gt 0 }[/math]，是不稳定不动点。[math]\displaystyle{ r=0 }[/math]为分岔点，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)=0 }[/math]

相图与分岔图

对于[math]\displaystyle{ \dot{x} = r - x^2 }[/math]

相图即[math]\displaystyle{ \dot{x}=f(x) }[/math]的图像，纵坐标为[math]\displaystyle{ \dot{x} }[/math]，横坐标为[math]\displaystyle{ x }[/math]，展示了系统在参数[math]\displaystyle{ r }[/math]取不同值时可分为三种不同的状态。

• 实心点为稳定不动点，空心点为不稳定不动点，半空心点为临界半稳定不动点，箭头为演化方向。

案例：激光模型

模型描述

这里介绍哈肯在1983年研究的激光模型的简化版。 哈肯是协同学的创始人，他本身一开始是做激光研究的。

如图所示：外面有一个泵，里面是很多高能级的原子束，是活跃的这种材料。 两边是都是镜子，会反射这个光子。 然后右边这个镜子，它实际上中间会有一个小孔，它就是用来去释放这个激光的。 如果它满足条件的话就会放出激光来。 中间的高能级原子，它就会因为受激，通过受激辐射来产生很多新的光子。 这个模型主要描述的是光子数的一个动力学变化。

数学表述为： [math]\displaystyle{ \dot{n} = gain - loss = GnN - kn }[/math]

[math]\displaystyle{ N(t) = N_{0} - an }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{n} = Gn (N_{0}-an) - kn = (GN_{0} - k)n-(aG)n^2 }[/math]

其中：n光子数，N高能级原子数，G增益系数，kn光子逸出或被吸收的损耗，an受激辐射损失的高能级原子